42. Элементы логики нечетких множеств
Расширение классической теории множеств привело к понятию «частичной принадлежности» элемента к множеству [14]. Такой подход позволяет принадлежать одному элементу сразу нескольким множествам. Мерой принадлежности элемента нечеткому множеству А является функция принадлежности:
.
Случай четкой принадлежности соответствует следующим значениям функции принадлежности:
Функция принадлежности может определяться в виде непрерывной функции или в дискретной (лингвистической) форме.
Носитель нечеткого множества:
.
Кардинальное число нечеткого множества:
.
Нечеткое множество называется нормальным, если хотя бы один элемент имеет значение функции принадлежности равное 1.
Сечением
нечеткого множества
называется подмножество для элементов
которого выполняется условие:
.
Пример задания дискретных функций принадлежности:
,
43. Операции на нечетких множествах
Введение меры нечеткости множеств привело к изменению определений операций с множествами [2,14]. В данном разделе приведены определения 11 операций на нечетких множествах с примерами. Значения функций принадлежности исходных множеств взяты из предыдущего раздела.
1) Логическая сумма
множеств
:
.
Пример:
.
2) Логическое
произведение множеств
:
.
Пример:
.
3) Отрицание
множества
:
.
Пример:
.
4) Равенство множеств и :
.
5) Операция
концентрации
:
.
6) Операция
растягивания
:
.
7) Алгебраическое
произведение множеств
:
.
8) Ограниченная
сумма двух нечетких множеств
:
.
9) Ограниченная
разность двух нечетких множеств
:
.
10) Ограниченное
произведение двух нечетких множеств
:
.
11) Нормализация
нечеткого множества
:
.
Множество
называется подмножеством множества
,то
есть
,
если для всех его элементов выполняется
неравенство:
.
44. Нечеткие правила вывода
Получение новых нечетких высказываний на основе базисного множества высказываний осуществляется путем применения нечетких правил вывода [2,14]. Нечеткое правило вывода состоит из предпосылки и следствие, которые можно представить в следующем виде:
.
В качестве конкретного правила вывода может применяться логическое произведение множеств:
,
или алгебраическое произведение множеств:
.
Система нечеткого вывода образована теорией нечетких множеств, правилами импликации и нечетких рассуждений. Входные четкие величины преобразуются в нечеткие с помощью специальных элементов – фуззификаторов. Нечеткая форма переменных позволяет применить к ним нечеткую импликацию. Формирование четкой выходной величины (агрегирование) осуществляется дефуззификатором.
45. Нечеткие нейронные сети
Нечеткие нейронные сети позволяют параллельно вычислять набор нечетких правил вывода для вектора входного образа. Известна структура нечеткой нейронной сети типа TSK (Тагаки, Сугено, Канга) [14], которая имеет слои фуззификации, параметризации, импликации и агрегирования. Выходной сигнал нечеткой нейронной сети определяется следующей формулой:
,
где
- количество нечетких правил вывода,
- размер входного вектора,
- множество параметрических весовых
коэффициентов.
Обучение нейронной сети сводится к определению значений множества параметрических весовых коэффициентов.
Наиболее проблемным моментом применения нечетких нейронных сетей (и теории нечетких множеств в целом) является определение функций принадлежности, так как до сих пор нет четких методик для задания или вычисления функций принадлежности.