2. Векторное и комплексное изображение синусоидальных сигналов.

Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости. На рисунке 3.2 показан синусоидальный ток , представляющий собой на комплексной плоскости вектор .

Рисунок 3.2 – Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости

Синусоидальный ток может быть записан в комплексном виде (точка, поставленная над током , означает, что эта величина изменяется во времени синусоидально) следующим образом:

.

где – комплексная величина, модуль (длина вектора) которой равен ;

– единица измерения по мнимой оси комплексной плоскости;

– угол, под которым вектор проведен к вещественной оси +1 комплексной плоскости, равный начальной фазе. Выражение называют показательной формой записи комплексного числа .

называют алгебраической формой записи комплексного числа .

– вещественная часть комплекса или активная составляющая тока .

– мнимая часть комплекса или реактивная составляющая тока .

Рассмотрим пример записи синусоидального тока в комплексном виде в показательной и алгебраической формах.

Пример.

Запишем в комплексном виде синусоидальные токи и :

– показательная форма записи тока ,

– алгебраическая форма записи тока ,

– показательная форма записи тока ,

– алгебраическая форма записи тока .

Изобразим на комплексной плоскости (рисунок 3.3) синусоидальные токи и .

Рисунок 3.3 – Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

В результате сложении двух синусоидальных токов и одинаковой частоты получается некоторый ток той же частоты . Найдем амплитуду и начальную фазу искомого тока. Для этого сложим два тока в комплексном виде и , геометрическая сумма векторов этих токов даст комплексную амплитуду суммарного тока . Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов. Следует отметить, что если бы векторы , , вращались вокруг начала координат с угловой скоростью , то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающей синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенные с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Рассмотрим сложение и вычитание синусоидальных функций на примере.

Пример.

Необходимо сложить и вычесть два тока и . Изобразим эти токи на комплексной плоскости в виде векторов и проведем их сложение и вычитание (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Сложение и вычитание синусоидальных величин на комплексной плоскости

Проведем аналитическое сложение и вычитание токов в комплексной форме записи. Для этого используем алгебраическую форму записи комплексов токов:

,

,

,

.

Если необходимо разделить или умножить два комплекса, тогда используют показательную форму записи или алгебраическую.

В показательной форме записи, при умножении модули умножают, показатели складывают, при делении модули делят, показатели вычитают:

,

.

Умножение в алгебраической форме записи:

Далее, так как слагаемое станет равно . Тогда .

Деление в алгебраической форме записи, производится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженный комплекс знаменателя. Сопряженный комплекс отличается от обычного знаком у мнимой части.

Мгновенная мощность.

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения на участке цепи на мгновенное значение тока , протекающего по этому участку:

.

Резистивный, индуктивный и емкостной элементы в цепи синусоидального тока.

Элементами реальных электрических цепей синусоидального тока являются резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Резистивный элемент – это идеализированный схемный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элементе реальной электрической цепи. Индуктивный элемент – это идеализированный элемент, представляющий катушку индуктивности без активного сопротивления . Емкостной элемент – это идеализированный элемент, представляющий собой конденсатор без потерь .

Напряжение совпадает с формой вызванного этим напряжением тока только в резистивных цепях, т.е. ток и напряжение в этом случае совпадают по фазе. В цепях с индуктивными и емкостными элементами формы напряжения и тока отличаются друг от друга.

В цепях с индуктивным элементом ток и напряжение связаны следующим выражением: . Если напряжение, приложенное к индуктивному элементу, имеет синусоидальную форму , то ток определится из выражения

, ,

где .

Произведение обозначается и называется индуктивным сопротивлением .

Таким образом, если к индуктивному элементу приложить напряжение гармонической формы, то ток будет отставать от напряжения на 90^о (рисунок 3.5, 3.6).

Рисунок 3.5 – Мгновенные токи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах при начальной фазе напряжения, равной нулю

Рисунок 3.6 – Мгновенные токи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах при начальной фазе тока, равной нулю

В цепях с емкостным элементом ток и напряжение связаны следующим выражением . Если ко входу цепи приложено напряжение синусоидальной формы , то ток через емкостной элемент определится из выражения:

.

Так как множитель имеет размерность тока, обозначим его . Известно, что . Таким образом, ток через емкостной элемент опережает напряжение на 90^о (рисунок 3.5, 3.6). Величина обозначается и называется емкостным сопротивлением .