2. Розрахунок передавальних функцій та структурна схема системи

• елемент порівняння:

де – вихідна напруга ЕП, – вихідне значення напруги, – напруга на виході ДН;

• попередній підсилювач:

де – напруга на виході ПП, – постійна часу ПП, – коефіцієнт посилення попереднього підсилювача напруги;

• електромашинний підсилювач:

,

де – постійні часу електромашинного підсилювача напруги, – напруга на виході ЕМП, – коефіцієнт посилення ЕМП;

• генератор:

,

де – напруга на виході генератору, – коефіцієнт посилення генератору;

• дільник напруги:

,

де – напруга на виході ДН, – коефіцієнт посилення ДН.

Структурна схема нескорегованої системи зображена на рисунку 2.2.

Wg

Wemp

Wpp

Wdn

Рисунок 2.2 – Структурна схема нескорегованої системи

3. Розрахунок розімкнутої та замкнутої передавальної функції САУ

1. передавальна функція розімкнутої системи:

отже

(2.1)

2. передавальна функція замкнутої системи:

де

отже

(2.2)

4. Побудова області стійкості замкнутої САУ методом D-розбивки

У нашому варіанті необхідно знайти область стійкості методом D-розбивки по одному невідомому параметру, тобто за коефіцієнтом підсилення Kpp.

Тож прирівняємо характеристичне рівняння замкнутої системи до нуля:

(2.3)

Замість змінної підставляємо , щоб знайти комплексний вираз для змінної .

де

,

звідси знаходимо дійсну U(ω) та уявну функції V(ω).

Задаючи значення від -10 до 10 будуємо область стійкості. По осі абсцис будуємо дійсну складову U(ω), а по осі ординат - уявну V(ω). Графік області стійкості зображений на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 – Область стійкості, знайдена методом D-розбивки

За графіком бачимо, що область стійкості розташована в межах від 0 до 27. Вибираемо коефіцієнт підсилення

Тоді передавальні функції розімкнутої та замкнутої САУ приймуть наступний вигляд:

1. передавальна функція розімкнутої САУ:

2. передавальна функція замкнутої САУ:

5. Аналіз стійкості розімкнутої та замкнутої САУ

Оцінка стійкості заданої САУ буде проводитися наступними методами: оцінка розімкнутої системи за коренями характеристичного рівняння; оцінка замкнутої системи, використовуючи критерій Гурвіца, Михайлова та Найквіста. Також потрібно визначити запаси стійкості по амплітуді та по фазі.

2.5.1 Оцінка стійкості розімкнутої САУ за коренями характеристичного рівняння

Складемо та прирівняємо до нуля характеристичне рівняння розімкнутої САУ:

Знайдемо корені характеристичного рівняння:

У методі оцінки стійкості розімкнутої САУ за коренями характеристичного рівняння необхідна та достатня умова полягає у тому, щоб всі корені характеристичного рівняння були від’ємні, тобто знаходилися у лівій півплощині. Так як усі корені нашого характеристичного рівняння від’ємні, то можна зробити висновок, що система стійка.

2.5.2 Оцінка стійкості замкнутої САУ за критерієм Гурвіца.

Необхідна умова стійкості: для того, щоб система була стійкою необхідно та достатньо, щоб усі її коефіцієнти характеристичного рівняння були одного знаку.

Критерій Гурвіца: для того, щоб система була стійкою необхідно та достатньо, щоб були позитивні або всі визначники Гурвіца з парними індексами, або всі визначники Гурвіца з непарними індексами.

Так як усі коефіцієнти характеристичного рівняння одного знаку, то необхідна умова виконується. Для перевірки достатньої умови потрібно побудувати та знайти визначники Гурвіца.

Для початку побудуємо головний визначник Гурвіца із коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи за наступним правилом, яке зображено на рисунку 2.4.

Рисунок 2.4 – Головний визначник Гурвіца

Побудуємо визначники Гурвіца:

929495.

Так як усі визначники Гурвіца більше нуля, то за необхідною та достатньою умовою досліджувана замкнута САУ є стійкою.

2.5.3 Оцінка стійкості системи за критерієм Михайлова

Крива Михайлова – це крива, яка описує кінець вектора на комплексній площині при зміні частоти від 0 до ∞.

Критерій Михайлова: для того, щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб крива Михайлова починалась при c дійсної позитивної півосі при зростанні частоті від 0 до ∞ та послідовно проходила n квадрантів в позитивному напрямку, тобто проти руху часової стрілки, не потрапляючи у початок координат.

Для оцінки стійкості треба записати характеристичне рівняння замкнутої САУ та замінити замість для знаходження комплексного виразу характеристичного рівняння системи.

далі заміна

Далі знаходимо дійсну та уявну з отриманого виразу:

.

Будуємо криву Михайлова, яка зображена на рисунку 2.5.

Рисунок 2.5 – Крива Михайлова

Збільшений масштаб кривої Михайлов відображено на рисунку 2.6.

Рисунок 2.6 – Збільшений масштаб кривої Михайлова

Побудова крива Михайлова охоплює 4 квадранти, що дорівнює найбільшій степені характеристичного поліному, та не перетинає початок координат, що добре видно на рисунку 2.5. Тому можна зробити висновок, що досліджувана замкнута САУ стійка по критерію Михайлова.