4. Вопросы и задания

Уровень А:

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Выбери и впиши: «Прямая находится в плоскости»; «прямая пересекает плоскость» или «прямая параллельна плоскости».

1. Прямая AA₁ и плоскость (ADD₁): прямая находится в плоскости.   

 

2. Прямая BC и плоскость (A₁B₁C₁):  прямая параллельна плоскости.

 

3. Прямая CC₁ и плоскость (ABD): прямая пересекает плоскость.

 

4. Прямая CB₁ и плоскость (AA₁D): прямая параллельна плоскости.

 

5. Прямая AB₁ и плоскость (BCD): прямая пересекает плоскость.

Уровень В:

Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости.

Выбери и впиши: «Прямая находится в плоскости»; «прямая пересекает плоскость» или «прямая параллельна плоскости».

 

Прямая DD₁ и плоскость (ADD₁): прямая находится в плоскости.   

Прямая LP и плоскость (AA₁D): прямая пересекает плоскость.

Прямая XY и плоскость (ABC): прямая пересекает плоскость.

Прямая DC и плоскость (XYZ): прямая пересекает плоскость.

Прямая MS и плоскость (ABB₁): прямая находится в плоскости.   

Уровень С:

Точка K не лежит в плоскости прямоугольника XYZT. Докажи, что прямая TZ параллельна плоскости (XKY).

(Дополни доказательство нужными словами или выражениями из списка).

 

1. Прямые TZ и XY параллельны как противоположные стороны прямоугольника.

2. Прямая XY лежит в плоскости (XKY), так как две её точки X и Y принадлежит плоскости.

3. Если прямая параллельна прямой, которая находится в некоторой плоскости, то она параллельна этой плоскости. Значит прямая TZ параллельна плоскости (XKY).

3. 7.2.3 Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Скрещивающиеся прямые

2. Углы с сонаправленными сторонами

3. Угол между прямыми

4. Вопросы и задания.

1. Скрещивающиеся прямые

Взаимное расположение прямых в пространстве

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку). В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой	Кабели моста	Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Определение:

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1. "Признак скрещивающихся прямых"

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.

Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскость в точке D, не лежащей на прямой AB.

 

1. Допустим, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости. 2. Значит, эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α. 3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её. Теорема доказана.

 В пространстве прямые могут быть расположены следующим образом:

Параллельны	Пересекающиеся	Скрещивающиеся

Теорема 2.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно и провести плоскость α 3. Так как прямая АВ не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.  Теорема доказана.