5. 7.2.5 Перпендикулярность прямой и плоскости
1. Перпендикулярные прямые в пространстве
2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
3. Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости.
4. Вопросы и задания.
1. Перпендикулярные прямые в пространстве
Определение:
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.
Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.
Перпендикулярность прямой и плоскости
П
рямая,
пересекающая плоскость, называется
перпендикулярной этой плоскости, если
она перпендикулярна каждой прямой,
которая лежит в данной плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.
Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.
2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство:
Пусть a — прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.
1. Проведём произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.
2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.
3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.
4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трём сторонам.
5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.
3. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью к плоскости
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
4. Вопросы и задания
Уровень А:
Прямая PQ параллельна плоскости α.
От точек P и Q к плоскости проведены прямые PP1⊥α и QQ1⊥α. Известно, что PQ=PP1=18,3 см.
Определи вид четырехугольника PP1Q1Q и найди его периметр.
Ответ:
1. PP1Q1Q — квадрат
2. PPP1Q1Q= 73, 2 см
Уровень В:
К плоскости квадрата ABCD со стороной 6 см через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата.
На прямой отложен отрезок OK длиной 5 см.
Рассчитай расстояние от точки K к вершинам квадрата (результат округли до одной десятой).
Ответ:
KA= √43 см
KB= √43 см
KC= √43 см
KD= √43 см
Уровень С:
От вершины K к плоскости квадрата ABCD проведена прямая KB так, что углы ∠KBA=90º и ∠KBC=90º.
Рассчитай расстояние от K к вершинам квадрата, если сторона квадрата равна 6 см, а KB =15 см.