2. Углы с сонаправленными сторонами

Любая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О₁А₁, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО₁. Два луча ОА и О₁А₁, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

Теорема: Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: ∠О и ∠О₁ с сонаправленными сторонами.

Доказать: ∠О=∠О₁.

Доказательство: На сторонах угла О отметим любые точки А и В и на соответственных сторонах угла О₁ отметим точки А₁ и В₁ такие, что О₁А₁=ОА и О₁В₁=ОВ.

1. Рассмотрим ОАА₁О₁.

ОА||О₁А₁ }⇒ ОАА₁О₁ - параллелограмм ⇒АА₁||ОО₁ и ВВ₁=ОО₁.

ОА=О₁А₁}

2. Рассмотрим ОВВ₁О₁.

ОА||О₁В₁ }⇒ ОВВ₁О₁ - параллелограмм ⇒ВВ₁||ОО₁ и ВВ₁=ОО₁.

ОА=О₁В₁}

Вывод: AA₁||OO₁ и ВВ₁||ОО₁ ⇒ АА₁||ВВ₁; АА₁=ОО₁ и ВВ₁=ОО₁ ⇒ АА₁=ВВ₁ ⇒ АА₁ВВ₁ - параллелограмм ⇒ АВ=А₁В₁

3. Рассмотрим ΔАВО и ΔА₁В₁О₁. Δ АВО=Δ А₁В₁О₁ по трем сторонам

Вывод: ∠О=∠О₁

Углом между пересекающимися прямыми называется угол, не превосходящий любой из трех остальных (то есть наименьший из четырех образованных). Обратите внимание, что здесь подразумевается градусная мера, а не геометрическая фигура. По определению угол 0°<α≤90°.

Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А₁В₁ и С₁D₁ соответственно параллельными АВ и CD.

Итак, для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно через "удобную" точку провести параллельные прямые (для данных скрещивающихся) и найти угол между ними. Выбор "удобной" точки зависит от условия задачи, т.к. величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки (по теореме о трех параллельных прямых и теореме об углах с сонаправленными сторонами).

3. Угол между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними 0º. 2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90º). 3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Обрати внимание!

Провести соответственные параллельные прямые данным скрещивающимися прямым можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую параллельную другой из скрещивающихся прямых.

Пример:

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁