2. Частотний критерій стійкості Найквіста.

Цей критерій дає змогу робити висновки про стійкість замкненої лінійної САК за видом амплітудно-фазової характеристики цієї самої системи в розімкненому стані. Вперше у 1932 році його сформулював американський учений Найквіст для дослідження підсилювачів з від’ємним зворотним зв’язком, а потім узагальнив і застосував Михайлов для дослідження стійкості САК.

Для застосування частотного критерію Найквіста треба знати амплітудно-фазову характеристику розімкненої САК, яку можна знайти як аналітично, так і за допомогою безпосереднього експерименту.

Аналітично амплітудно-фазову характеристику дістають з передаточної функції в операторній формі. Спочатку записують передаточну функцію в частотній формі, а з неї одержують амплітудно-фазову характеристику.

Наприклад, скориставшись передаточною функцією автоматичної системи

,

можна написати частотну передаточну функцію, тобто:

.

Ця залежність після перетворення набере такого вигляду:

.

Щоб позбутися уявності в знаменнику, його множать на спряжене комплексне число. В кінцевому підсумку дістають амплітудно-фазову характеристику розімкненої автоматичної системи, тобто

.

Надаючи різних значень, складають таблицю, за даними якої будують годограф у комплексній площині.

Критерій Найквіста формулюється так: замкнена САК є стійкою, якщо амплітудно-фазова характеристика відповідної їй розімкненої системи не охоплює точку з координатами на комплексній площині.

Лекція 8. Графи та їх використання

в теорії автоматичного керування

План лекції:

1. Загальні відомості про графи.

2. Основні властивості графів і методика їх побудови.

3. Знаходження передаточної функції САК

за допомогою формули Мейсона

Література: [4].

1. Загальні відомості про графи.

Математичну модель системи автоматичного керування можна дістати також за допомогою орієнтованих графів.

У загальному випадку під графом розуміють деяку множину точок М, які називають вершинами, і множину непересічних кривих – ребер R, що відповідають умовам:

• кожне ребро R має рівно дві точки множини М, які є граничними точками ребра (ребро в цьому випадку називають незамкнутим);

• замкнуте ребро має тільки одну точку з множини М (граничні точки збігаються);

• ребра R не мають інших спільних точок, крім тих, які входять у множину М.

Якщо на ребрах вказано напрямок переміщення, то відповідний граф називають орієнтованим, а ребро орієнтованого графа – дугою. Граничні точки ребра є вершинами. Вважають, що саме ребро R інцидентне кожній з вершин, а кожна вершина інцидентна цьому ребру.

У загальному вигляді граф позначається буквою G або (R,M), де R – множина ребер, М – множина вершин.

Якщо якийсь граф G₁=f(M₁,R₁), де M₁ та R₁ входять до множин М і R, з яких складається граф G, то граф G₁ називають підграфом графа G (або підграфом G), який, у свою чергу, називають надграфом графа G₁ (або надграфом G₁).

Граф з скінченною кількістю вершин і ребер називають скінченним. На кожній дузі є початкова і кінцева вершини.

Згідно з викладеним орієнтований граф є сукупність множин вершин та дуг. Дуги називають паралельними, якщо вони мають спільні початкові і кінцеві вершини. З’єднання дуг, при якому кінцева вершина кожної дуги є початковою вершиною для наступної дуги, називають орієнтованим маршрутом. Його називають замкнутим, якщо кінцева вершина останньої дуги збігається з початковою вершиною першої дуги.

Орієнтований маршрут, в якому всі дуги різні, називають шляхом від початкової до кінцевої вершини (при незамкнутому стані). Якщо цей маршрут замкнутий, то його звуть контуром або орієнтованим циклом.