2. Основні властивості графів і методика їх побудови.

Граф системи автоматичного керування є орієнтований граф, що має такі властивості.

1. Кожна дуга відображає ланку системи з відповідним математичним зображенням.

2. Якщо до вхідної (початкової) вершини деякої дуги приєднуються (входять в неї) кілька дуг, то відповідна вхідна змінна є сумою вихідних величин цих дуг.

3. Якщо з кінцевої вершини виходять кілька дуг, то вхідна величина всіх дуг є однакова.

Граф САК легко побудувати, якщо відома структурна схема системи. Якщо відомий граф, то неважко побудувати структурну схему відповідної системи. Вершини графа зображуються колами.

При побудові графа за структурною схемою необхідно виконати такі перетворення.

1. Зобразити схему таким чином, щоб у суматорах всі вхідні величини мали знак плюс.

2. Кожний суматор замінити вершиною з вхідною величиною, що дорівнює вихідній величині цього суматора.

3. Кожну ланку структурної схеми замінити дугою з оператором (передаточною функцією), який дорівнює оператору цієї ланки.

4. Кожній змінній, в тому числі і збуренню, поставити у відповідність свою вершину.

5. Додаткове зображення (якщо це потрібно) вершини однієї з дуг на загальному вході деякої дуги провести з врахуванням одиничної передаточної функції.

На рис.8.1,а показано деяку вихідну структурну схему САК, а на рис.8.1,б – змінену структурну схему згідно п.1. На рис.8.1,в наведено кінцевий результат – відповідний граф САК.

При побудові графів можливе їх спрощення, яке досягається за рахунок того, що паралельні дуги можна замінити однією дугою з передаточною функцією, яка дорівнює сумі передаточних функцій цих дуг. Простий шлях (якщо немає не належних до нього дуг, інцидентних його проміжним вершинам) можна замінити дугою з передаточною функцією, що дорівнює добутку передаточних функцій дуг цього шляху.

3. Знаходження передаточної функції сак

за допомогою формули Мейсона.

Формула Мейсона використовується для спрощення графа, та знаходження передаточної функції замкнутої системи автоматичного керування по відомому графу системи.

Формулу записують у вигляді:

,

де g – вхідна, а х – вихідна величини системи (графа); – передаточна функція і-го простого шляху від вершини g до вершини х, що дорівнює добутку передаточних функцій дуг, які належать цьому шляху (контуру); m – кількість таких шляхів (для спрощення запису передаточних функцій далі не писатимемо знак оператора р); – визначник графа.

Визначник графа записується у вигляді:

,

де – передаточна функція j-го простого контуру, яка дорівнює добутку передаточних функцій всіх дуг даного контуру.

Перша складова є сумою всіх подібних простих контурів.

Друга складова – сума пар контурів j та k, що не доторкуються до інших контурів ( – результуюча передаточна функція контуру k, подібна до ).

Третя складова формули детермінанта – сума добутків передаточних функцій відповідних контурів, що не доторкуються. Аналогічно можна обчислювати й інші складові, якщо вони є в даному складному графі. При цьому треба мати на увазі, що недоторкуючими називають такі два контури, які не мають спільних дуг або вершин. Трійка, четвірка і т.д. контурів вважається недоторкуючою, якщо будь-яка пара контурів цієї трійки, четвірки і т.д. в свою чергу будуть недоторкуючими.

– детермінант підграфа, який можна дістати з головного (вихідного) графа при виключенні дуг та вершин і-го простого шляху, а також дуг та вершин, інцидентних цим вершинам.

Запишемо передаточну функцію системи автоматичного керування за завданням g згідно з формулою Мейсона відповідно до рис.8.1 (при цьому вважатимемо f=0). З рис.8.1,в видно, що від вершини g до вершини х є два (І і ІІ) простих шляхи з такими передаточними функціями:

;

.

Крім цього, у вихідному графі є три контури (позначимо їх 1,2,3), передаточні функції яких мають вигляд:

;

;

.

Недоторкуючих пар і контурів граф не має, тому його визначник матиме вигляд:

.

Підграфи, які відповідають простим шляхам від вершини g до х, замкнутих контурів не мають, тому

.

Формула Мейсона в цьому разі матиме вигляд:

.

Якщо потрібно знайти передаточну функцію за збуренням, то враховують, що g=0. При цьому від вершини f до х маємо лише один простий шлях . Відповідний підграф у цьому разі не має замкнутих контурів і його визначник дорівнює одиниці: .

Передаточна функція за Мейсоном матиме вигляд:

.