3. Перетворення Лапласа
Динамічні властивості автоматичних систем та їх складових частин (ланок) математично описуються диференціальними рівняннями. Чим більше в системі нагромаджуючих елементів, тим вище порядок диференціального рівняння, що зв’язує вихідну і вхідну величини системи.
Розв’язок лінійних диференціальних рівнянь може бути спрощений при використанні методів, що базуються на перетворенні функцій дійсної змінної у функції комплексної змінної. Методи функціонального перетворення дозволяють інтегро-диференціальні рівняння заміняти алгебраїчними рівняннями, розв’язок яких є значно простіший. Практичне використання знайшли методи перетворення Лапласа.
Перехід від функції дійсної змінної до функції комплексної змінної називається прямим перетворенням Лапласа і описується рівнянням:
(4.1)
де
комплексна змінна.
У виразі (4.1) функція f(t) називається оригіналом, а функція F(s) – зображенням. Зворотний перехід від зображення до оригіналу можна здійснити за зворотним перетворенням Лапласа:
(4.2)
На практиці не доводиться обчислювати інтеграли прямого й зворотного перетворення Лапласа. При складанні рівнянь динаміки широко використовується операторна форма запису диференціальних рівнянь, згідно з якою вводяться символи похідних і інтегралів, що визначаються за допомогою оператора р.
Символ диференціювання за часом d/dt замінюють оператором р, а операцію інтегрування – оберненою величиною оператора 1/р.
Записуємо похідні в операторній формі:
Тоді
Записуємо інтеграли в операторній формі:
При переході до операторної форми запису диференціальні рівняння перетворюються в алгебраїчні і їх розв’язують звичайними алгебраїчними діями (додаванням, відніманням, діленням і множенням), а не більш складними – інтегруванням і диференціюванням.
Правомірність відокремлення функції від знака оператора можна показати на основі відомих положень математики. Наприклад, на основі того, що похідна суми деяких величин x, y, z є сума цих похідних
в операторній формі можна записати: px+py+pz=p(x+y+z).
Для спеціальних функцій перехід від оригіналів до зображень і навпаки здійснюють за допомогою таблиць перетворення Лапласа, які є в спеціальній літературі.
4. Передаточні функції
Передаточні функції при використанні перетворень Лапласа представляють як відношення зображень вихідної і вхідної величин:
(4.3)
При нульових початкових умовах передаточну функцію можна подати на основі запису відповідних величин в операторній формі. Тому в теорії автоматичного керування передаточну функцію часто записують так:
(4.4)
При цьому виходять із рівняння елемента в загальному вигляді:
P(p) xвих = Q(p) xвх
де Q(p), P(p) – відповідні оператори.
Отже, можна зробити висновок, що передаточна функція ланки (системи) це є дріб, чисельник якого – є співмножник при вхідній величині, а знаменник – співмножник при вихідній величині.
Передаточні функції в ТАК мають значне поширення і використовуються з метою:
відображення динамічних властивостей елементів (систем) на основі структурних схем;
знаходження вихідних виразів для побудови частотних характеристик, на яких базуються різні методи дослідження елементів і систем автоматичного керування;
застосування математичного апарату, зручного для спрощення структурних схем.