Модуль і. Математична теорія поля Розділ I. Векторний аналіз §2. Градієнт скалярного поля і його властивості

Скалярним полем називають частину простору (або весь простір), кожній точці якого по певному закону ставиться у відповідність числове значення деякої скалярної величини. Приклади скалярних полів: поле температури в об’ємі нерівномірно нагрітого тіла; поле тиску в атмосфері; електростатичний і гравітаційний потенціали. В загальному випадку поле характеризується деякою функцією координат точок простору , яку називають функцією поля. Будемо вважати, що функція поля однозначна, неперервна і диференційована.

Геометричне місце тих точок, для яких значення функції поля однакові, називають поверхнею рівня. Рівняння поверхні рівня скалярного поля має вигляд

, (1)

де . Якщо константі присвоювати різні числові значення, отримаємо сімейство поверхонь рівня. Оскільки функція однозначна, то через кожну точку простору проходить тільки одна поверхня рівня.

П риклади: Еквіпотенціальні поверхні електростатичного поля, ізотермічні поверхні (на якій однакові значення ), або ізобаричні в атмосфері.

Нехай і - дві нескінченно близькі точки простору, з’єднані вектором

(2)

Нехай в просторі задано скалярне поле . Диференціал функції поля (тобто приріст функції при нескінченно малій зміні аргументів), дорівнює

(3)

Вираз (3) нагадує скалярний добуток двох векторів через декартові координати. Один з них дорівнює (2) , а інший, визначений в кожній точці простору, позначають

(4)

і називають градієнтом поля. Враховуючи (2) і (4), формулу (3) можна записати у вигляді скалярного добутку: (5)

Теорема. Градієнт скалярного поля напрямлений по нормалі до поверхні рівня в сторону найшвидшого зростання функції поля .

Доведення: Нехай - елементарне переміщення точки в довільному напрямку. З формули (5) , де - кут між і .

1) У випадку переміщення по поверхні рівня , що й т.б.д.

2) Максимальне значення буде при , тобто коли співпадає за напрямом з , що й т.б.д.

Із визначення градієнта (3) випливає, що

(6)

а також інші його властивості:

1. градієнт сталої функції дорівнює 0:

2. лінійність: ,

3.

4.

5.

6. .

§3. Оператор «набла»

Для спрощення записів англійський фізик Гамільтон ввів оператор (читається «набла»), який має вигляд:

(1)

Властивості цього оператора схожі на властивості вектора.

Градієнт скалярного поля можна розглядати як добуток символічного вектора на скаляр . Тоді:

.

Таким чином, (2)

Накінець, диференціал скалярної функції має вигляд

(3)

§4. Похідна скалярного поля по напрямку

Н ехай - одиничний вектор в довільному напрямку ( ), а відрізок , і . Тоді ,

звідки (1)

В цій рівності ліва частина по змісту є границя відношення приросту функції до абсолютної величини переміщення:

(2)

де точка зміщена від в напрямку і ; називається похідною функції в точці по напрямку . Похідна функції поля в даному напрямку характеризує швидкість зміни скалярного поля в цьому напрямку в даній точці і дорівнює проекції градієнта на цей напрямок:

, або . (3)

Звідси випливає, що із всіх похідних по напрямкам в даній точці найбільшою є похідна в напрямку нормалі до поверхні рівня в сторону зростання функції даного поля.