§8. Ротор векторного поля

По визначенню ротором векторного поля називають величину

. (1)

Отже, компоненти вектора є:

. (2)

Властивості ротора:

1. лінійність: , (3)

2. , (4)

3. ₍₅₎

§9. Циркуляція векторного поля

Н

O

ехай в заданому векторному полі вибрана деяка крива і задано один з напрямків руху вздовж неї як позитивний. Розіб’ємо цю криву на нескінчено малі ділянки на значення вектора у відповідній точці поля: .

Границя суми цих добутків, поширених на всі елементи кривої, називаються криволінійним інтегралом вектора вздовж кривої і позначається

. (1)

Якщо крива замкнута, що відмічається кружком у знаці інтеграла, то криволінійний інтеграл вектора вздовж неї називається циркуляцією вздовж :

. (2)

§10. Зв'язок ротора з циркуляцією. Теорема Стокса

З найдемо циркуляцію векторного поля вздовж контура , який являє собою плоский прямокутник , і виберемо вісі і декартових координат так, щоб вони були паралельні сторонам цього прямокутника і перетинались в його центрі (див мал). Якщо вибрати напрямок позитивного обходу контура проти часової стрілки, то позитивна нормаль до площини прямокутника буде напрямлена по вісі . (За позитивний напрямок нормалі приймається такий, що обхід контура, якщо дивитись з її кінця, буде здійснюватись проти часової стрілки). Циркуляція в цьому разі дорівнює:

Скористаємося відомою із інтегрального числення теоремою про середнє значення, отримаємо (при ):

,

де , … - середнє значення компонент і на 1,2,… сторонах прямокутника; від’ємні знаки вказують на зменшення при обході відповідних координат.

Наблизимо тепер довжини відповідних сторін прямокутника до 0, тоді в 1–му наближені , оскільки відстоїть від на відстань по вісі , , тому що лежить від на відстані по вісі .

Якщо ж взяти нескінчено малий прямокутник, то тоді , а і дорівнюватимуть значенням цих величин в центрі прямокутника. Тоді нескінчено мала циркуляція (при ):

(1)

Оскільки вісі , ми отримаємо, очевидно, циркуляцію вектора по контуру нескінченно малого прямокутника, позитивна нормаль до якого напрямлена по вісі і :

при , (1*)

при

Таким чином, циркуляція може бути зв’язана з . Формули (1) можна переписати також так:

, (2)

п ричому під потрібно розуміти позитивну нормаль до площини , яка утворює правогвинтову систему з напрямом позитивного обходу контура цієї площадки. Покладаючи послідовно паралельним вісям , отримаємо з (2) формули (1-1*).

П ерейдемо тепер до розгляду циркуляції вектора по контуру довільної форми і розміру. Проведемо поверхню таким чином, щоб вона опиралась на контур , і розіб’ємо її двома взаємно перпендикулярними системами паралельних ліній на сукупність нескінчено малих елементів, які через свою малість можуть вважатись площинами. Застосувавши до кожного з цих елементів рівняння (2) і склавши отримані вирази, знайдемо:

,

де - зовнішня нормаль до .

Оскільки при обчисленні по спільним межам двох суміжних площадок ці доданки зустрічаються з протилежними знаками, то вони в сумі взаємно знищуються, і залишаються лише члени, які відносяться лише до зовнішніх меж площадок, тобто до інтегралу вектора по зовнішньому контуру площадки , звідки:

Отримане співвідношення виражає так звану теорему Стокса: циркуляція довільного вектора по замкнутій кривій дорівнює потоку ротора цього вектора через поверхню , яка спирається на криву :

.