Тема 4: Потенціальне поле і його властивості. Соленоїдальне поле і його властивості

Задача 1. Перевірити , що поле є потенціальним, і знайти його потенціал.

Розв’язання. Векторне поле є потенціальним , якщо .

Що й доводить потенціальний характер поля

Знайдемо потенціал двома способами.

Для знаходження потенціалу скористаємося формулою . Точку візьмемо за початок координат.

.

2 спосіб. Будемо знову вважати точкою початку координат. Нехай радіус-вектор точки а точка проходить відрізок ; її радіус-вектор Точка має координати Звідси Покладемо тоді Для поля, яке ми розглядаємо

Відповідно,

Задача 2. Довести, що циркуляція потенціального поля по будь-якому замкнутому контурі дорівнює нулю.

Розв’язання. Нехай потенціальне поле і замкнений контур, початком і кінцем якого є точка

Тоді, що й потрібно було довести.

Індивідуальні домашні завдання до теми 4

1. Перевірити, що поле є потенціальним, і знайти його потенціал.

2. Довести, що векторне поле є потенціальним, і знайти його потенціал.

3. Перевірити, чи є векторне поле потенціальним.

4-6. Перевірити, чи є потенціальним векторне поле:

4.

5.

6.

7-14. Перевірити, чи буде потенціальним поле. У випадку потенціальності знайти його потенціал

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Тема 5: Оператор Гамільтона. Диференційні операції другого порядку. Оператор Лапласа

Задача 1. Показати, що , де - скалярна функція, - векторна функція.

Розв’язання.

Задача 2. Показати, що .

Розв’язання.

=

= .

знайдемо з попередньої задачі: . Тоді

.

Задача 3. Використовуючи символьний метод, знайти .

Розв’язання. .

Використовуючи властивості циклічної перестановки множників в змішаному множенні, перетворимо вираз в правій частині так, щоб всі постійні величини опинились перед оператором , а змінні – поза ним. Отримаємо, тобто .

Задача 4. Нехай функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Довести, що .

Розв’язання.

,

так як , , .

Задача 5. Довести, що для потенціального векторного поля його потенціальна функція задовольняє рівняння Пуассона , де .

Розв’язання.

Так як векторне поле потенціальне, то , де - потенціал поля. Застосуємо до цього виразу операцію дивергенції , .

Індивідуальні домашні завдання до теми 5

1. Показати, що а) ; б) .

2. Довести, що вектор соленоїдальний, якщо та - диференціюючи скалярні функції.

3-4. Використовуючи оператор Гамільтона , довести наступні рівності:

3. ;

4. 

5. , - радіус-вектор.

6. Довести, що вектор ортогональний до .

7. Показати, що будь-який розв’язок рівняння , задовольняючи умову соленоїдальності, задовольняє векторному рівнянню Гамільтона .

8. Нехай скалярна функція задовольняє рівняння Лапласа. Показати, що вектор – соленоїдальний та безвихровий.

9. Показати, що .

10. Довести, що , якщо – радіус-вектор.

11-13. Перевірити, чи являються наступні скалярні поля гармонічними:

11. ;

12. ;

13. .

14. Показати, що скалярне поле , де , являється гармонійним.

15. Знайти всі гармонічні поля, залежні тільки від .

16. Знайти загальний вигляд гармонійного многочлена другого степеня від та .

17. Знайти всі розв’язки рівняння Пуассона , яке залежить лише від .