Пример 6.1

Построить эпюры внутренних усилий для двухопорной рамы (рисунок 6.4 а).

Решение

Определяем опорные реакции:

Проверка:

Определяем внутренние усилия в характерных сечениях каждого участка рамы.

Участок AD:

Сечение A:
Сечение D:
Рисунок 6.4

Участок BE:

Сечение B:
Сечение E:

Ригель CE:

Сечение C:
Сечение D (слева):
Сечение D (справа):
Сечение F (слева):
Сечение F (справа):
Сечение E:

Эпюры внутренних усилий приведены на рисунке 6.4 б, в, г.

Рисунок 6.5

Вырежем мысленно узел D и проверим его равновесие под действием внутренних усилий, сходящихся в узле (рисунок 6.5). Проверка показывает, что узел находится в равновесии. Для усвоения проверки равновесия в узлах рекомендуется проверить равновесие в узле Е самостоятельно.

Задача 6.1

Построить эпюры внутренних усилий для двухопорной рамы, схема которой приведена на рисунке 6.6.

Вопросы к практическому занятию

1. Назовите типы стержневых систем.

2. Чем отличается жесткий узел стержневой системы от шарнирного узла?

3. Как располагаются оси координат в элементах системы в зависимости от расположения стержней?

4. Как выполняется проверка равновесия в узлах?

Рисунок 6.6

Продолжение рисунка 6.6

Продолжение рисунка 6.6

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7

Построение эпюр внутренних усилий для плоских консольных рам

Теоретическая часть

Основные теоретические положения, касающиеся расчета плоских рам, изложены в теоретической части к практическому занятию 6.

Пример 7.1

Для консольной рамы построить эпюры внутренних усилий.

Решение

Вычисление усилий для консольных балок и ломаных стержней удобно начинать со свободного конца; опорные реакции при этом определять не требуется.

Определяем внутренние усилия в характерных сечениях каждого участка рамы.

Участок AВ:

Сечение A:
Сечение В:

Участок BС:

Сечение B:
Сечение С:

Участок СD:

Сечение С:
Сечение D:

Рисунок 7.1

Эпюры внутренних усилий приведены на рисунке 7.1 б, в, г. Проверим равновесие узла В. Для этого мысленно вырежем этот узел и приложим к нему внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях стойки и ригеля (рисунок 7.1 д). Очевидно, что уравнения статики ΣX = 0, ΣY = 0, ΣM_B = 0 выполняются, следовательно, узел находится в равновесии.

Задание 7.1

Посторить эпюры внутренних усилий для консольной рамы, изображенной на рисунке 7.2.

Вопросы к практическому занятию

1. Почему необязательно определять опорные реакции при построении эпюр внутренних усилий для консольных рам?

2. По какому принципу строятся эпюры изгибающих моментов для плоских рам?

3. Решить задачу по построению эпюр внутренних усилий для плоской рамы по заданию преподавателя.

Рисунок 7.2

Продолжение рисунка 7.2

Продолжение рисунка 7.2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8

Подбор сечений балок из условия прочности при изгибе

Теоретическая часть

Нормальные напряжения при изгибе определяются по формуле

	(8.1)
	(8.2)

Момент сопротивления изгибу W_x характеризует сопротивляемость бруса изгибу. Он измеряется в см³, мм³, м³ и т. д., зависит от формы и размеров поперечного сечения. Приведенные формулы позволяют проверить прочность бруса по нормальным напряжениям при заданном изгибающем моменте. Если необходимо определить требуемые размеры бруса при заданном изгибающем моменте (произвести подбор сечения), определяют расчетный момент сопротивления из условия прочности

	(8.3)
	(8.4)

а затем назначают размеры сечения так, чтобы его момент сопротивления был близок к расчетному.

В некоторых случаях, например, для двутавровой балки, необходимо произвести проверку прочности в ряде характерных точек поперечного сечения.

Рисунок 8.1	Рисунок 8.2

В точке 1 (рисунок 8.1) касательные напряжения равны нулю, поэтому проверка прочности производится по нормальным напряжениям. В точке 3, наоборот, нормальные напряжения равны нулю, а касательные имеют максимальное значение, поэтому проверку необходимо производить по формуле

(8.5)

В точке 2 возникают и нормальные и касательные напряжения, при этом и те и другие довольно велики. В этом случае проверку прочности можно произвести по главным напряжениям, рассчитанным с применением различных теорий прочности. В строительной практике чаще всего используется формула

(8.6)

Проверка прочности в некоторых точках предусматривает уточнение размеров отдельных элементов сечения, например толщину вертикальной стенки балки.

Если сечение симметрично относительно оси ОХ, то по формуле (8.1) можно определять как наибольшие растягивающие, так и наибольшие сжимающие напряжения.

Для несимметричных сечений формулой (8.1) можно пользоваться только для определения самых больших по модулю напряжений. Так, для сечения, показанного на рисунке 8.2, по формуле (8.1) можно определить напряжение только в точке А, напряжения в точке В следует рассчитывать по формуле (8.7).

(8.7)

В тех случаях, когда материал, из которого изготовлен брус, имеет различные допускаемые напряжения при растяжении и сжатии, например чугун, проверку прочности необходимо проводить по формулам (8.8), определяя как максимальное растягивающее, так и наибольшее сжимающее напряжения:

(8.8)

где [σ_с], [σ_р] – допускаемые напряжения сжатия и растяжения для материала бруса.

Большое значение при изгибе имеет выбор рациональной формы поперечного сечения балки. При различной площади сечения можно подобрать несколько различных типов сечений, причем каждый из них будет иметь момент сопротивления, близкий к расчетному; наиболее выгодным считается сечение, у которого площадь поперечного сечения наименьшая.

Рассмотрим случай, когда сечение симметрично относительно горизонтальной оси. Так как

то при одинаковых высотах необходимо стремиться так расположить материал по высоте, чтобы момент инерции сечения был максимальным:

(8.9)

Из выражения (8.9) можно заключить, что чем дальше от центрального слоя располагаются частицы площади сечения, тем больше момент инерции, а следовательно (при заданной высоте), больше и момент сопротивления.

Из четырех сечений, показанных на рисунке 8.3, наиболее выгодно двутавровое сечение. Этим объясняется широкое применение в строительной практике двутавровых балок. Круглое сечение и, в особенности, крестообразное невыгодны, и поэтому, как правило, для балок не применяются.

Рисунок 8.3

Прямоугольное сечение употребляют только в тех случаях, когда это оправдано с технологической точки зрения. Например, применяют деревянные брусья или пакеты из деревянных брусьев, так как изготовление деревянных двутавровых балок требует значительных трудозатрат, приводящих к перерасходу материальных средств.

Если в одном и том же поперечном сечении балки одновременно действуют максимальный изгибающий момент и максимальная поперечная сила или величины Q(z) и M(z), близкие к максимальным, то производят проверку прочности балки по главным напряжениям.

Прочность по главным напряжениям проверяют только для балок, поперечное сечение которых имеет тонкую стенку, резко расширяющуюся вблизи крайних волокон. Проверку прочности производят в точках перехода от малой ширины сечения к большой. Балки из пластичного материала проверяют по третьей гипотезе прочности по формуле

(8.10)

Балки из хрупкого материала проверяют по первой гипотезе прочности согласно условию

(8.11)