4 Обработка данных

С помощью (36), (37) и табл. 7 заполнить табл. 9

Табл. 9

180
510
910

С помощью табл. 8 и формул (42),(43),(44) заполнить табл. 10 и с помощью (38)….(41) --табл. 11.

180

510

910

Табл. 10

Табл. 11

5 Выводы

Используя табл. 9 оценить адекватность временной модели.

Используя табл. 11 оценить адекватность частотной модели.

Используя материалы работы № 10, пояснить возможные причины несоответствия.

Лабораторная работа № 6 частотные и переходные характеристики пассивных цепей

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Оценка погрешностей моделирования R-L-C цепей моделями первого и второго порядка.

1 Теория

Пассивная цепь представляет собой соединение пассивных элементов — резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности — выполненное в соответствии с принципиальной электрической схемой. Схема является упрощенным представлением цепи. На схеме элементы представлены своими основными свойствами — сопротивлением, емкостью, индуктивностью, хотя каждый элемент наделен, до некоторой степени, всеми тремя свойствами, сопротивление, индуктивность и емкость соединительных проводников не учитывается, а схемные параметры подключаемых источников и измерительных приборов предполагаются идеальными. Поэтому расчет характеристик цепи по принципиальной схеме получается, до некоторой степени, приблизительным, и для его уточнения используют эквивалентные схемы, где учитываются те или иные дополнительные параметры. Увеличение числа параметров цепи обычно увеличивает и порядок описывающей её системы дифференциальных уравнений, который называют порядком модели цепи. Увеличение порядка модели не всегда увеличивает точность расчета характеристик цепи. Так, если при расчете цепи, состоящей из конденсатора и резистора учесть только емкость конденсатора и сопротивление резистора, получится модель первого порядка, а если учесть и индуктивность проводов — второго. Но значение этой индуктивности определится только при монтаже схемы, а на стадии расчета остается неизвестным, так что эта модель может использоваться только для оценки возможной погрешности моделирования цепи с помощью модели первого порядка. Поэтому при расчете характеристик цепи обычно используют минимальный порядок модели.

В частотной области цепь характеризуется комплексным коэффициентом передачи, его модулем, определяющим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ ) и аргументом, задающим фазо-частотную характеристику (ФЧХ), и коэффициентом частотных искажений, являющимся нормированным коэффициентом передачи. Частотные характеристики определяются при гармоническом входном сигнале, когда напряжение или ток на входе цепи

, (1)

где Ax ,φx — амплитуда и фаза входного сигнала соответственно.

Тогда для линейной стационарной цепи выходной сигнал

, (2)

где — амплитуда и фаза выходного сигнала.

АЧХ цепи определяется зависимостью от частоты сигнала коэффициента передачи

, (3)

а ФЧХ — зависимостью от частоты сдвига фазы в цепи

. (4)

Область определения функции разделяют на полосу пропускания, полосу затухания и переходную полосу. По расположению этих полос можно разделить цепи на цепи нижних частот, цепи верхних частот и полосовые. Для цепей нижних частот полоса пропускания включает низкие частоты, и в том числе , для цепей верхних частот в начале координат расположена полоса затухания, а полоса пропускания включает неограниченное значение частоты. Для полосовой цепи полосы затухания находятся как в области низких, так и в области высоких частот. Значение коэффициента передачи для некоторой частоты из полосы пропускания принимается за номинальное значение , и тогда коэффициент частотных искажений

. (5)

При этом для цепи нижних частот номинальная частота должна быть как можно меньше , для цепи верхних частот — максимальной, а для полосовой цепи выбирается некоторое значение в центре полосы пропускания

Для цепи нижних частот первого порядка

., (6)

где частота соответствует значению коэффициента частотных искажений

и называется частотой среза цепи нижних частот. Для цепи верхних частот первого порядка

, (7)

где — частота среза цепи верхних частот.

Модели второго порядка используются, в частности, для описания цепей нижних частот и простейшей полосовой цепи. Для цепи нижних частот второго порядка коэффициент частотных искажений

, (8)

где λ — степень затухания, — собственная частота цепи. Экстремум функции (8) возможен при частоте

, (9)

и при этой частоте

. (10)

Полосовые цепи разделяют на узкополосные и широкополосные в зависимости от соотношения полосы пропускания и центральной частоты. Для узкополосной цепи коэффициент частотных искажений обычно представляют в виде

, (11)

где — центральная частота цепи, — добротность цепи. При малой добротности, когда , часто используется представление полосовой цепи как соединения цепи нижних и цепи верхних частот, когда (11) приводится к виду

, (12)

где — нижняя частота среза, — верхняя частота среза полосовой цепи, причем

. (13)

Для описания реакции линейной цепи на импульсный сигнал используется переходная характеристика, которая является нормированной реакцией цепи на ступенчатый сигнал. На практике вместо ступенчатого используется периодическая последовательность прямоугольных импульсов, причем длительность периода должна быть достаточной для практического окончания переходного процесса в цепи. Тогда переходная характеристика определяется функцией

, (14)

где — выходной сигнал цепи при ступенчатом (импульсном) входном сигнале,

— номинальная задержка сигнала в цепи, или интервал времени, по истечении которого выходной сигнал считается установившимся. Номинальная задержка зависит от вида цепи: для цепи нижних частот , для цепи верхних частот , для полосовой цепи . При моделях первого порядка переходная характеристика изменяется монотонно. Для цепи нижних частот первого порядка

, (15)

где постоянная времени цепи

. (16)

Для цепи верхних частот первого порядка

(17)

где постоянная времени

. (18)

Переходная характеристика цепи нижних частот второго порядка при <1

, (19)

где , .

Погрешность установления в этом случае знакопеременна, и поэтому такой переходной процесс часто называют колебательным.

На рис. 1 обозначено

x = ω0t, λ1 = 0,1;λ2 = 0,25;λ3 = 0,5;λ4 = 0,8.

Интервал между нулевыми значениями погрешности установления определяется из уравнения

,

так что для первого интервала из (15) получим

. (20)

Рис. 1

Значение первого экстремума функции (15)

.(21)

Переходная характеристика цепи нижних частот второго порядка при >1 (22)

где x = .Графики функции для значений λ 1,05;1,5;2,0 приведены на рис.2.

Рис.2

Переходная характеристика полосовой цепи при >0.5

, (23)

и равна нулю в точке

, (24)

а отношение амплитуд двух первых экстремальных значений

. (25)

Графики переходной характеристики для 1 =1 и 2 = 5 и частоты fc =100 kHz приведены на рис. 3.

Переходная характеристика полосовой цепи при <0.5 обычно строится с использованием (13), так что в этом случае

Рис. 3

, (26)

где , причем экстремум функции находится в точке

, (27)

а отношение значений функции и при и

. (28)

Графики переходных характеристик H3(t) (fH =20kHz , fB =300kHz), H4(t) ( fH =100 kHz , fB =

300 kHz ), H5(t )( fH = 100 kHz , fB = 1000kHz ) приведены на рис. 4.

Рис.4