Тема 3. Інтерполяція функцій

Інтерполяцію функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x: і потрібно визначити значення для проміжних значень аргументу - . В цьому разі будують функцію (достатньо просту для обчислень), яка в точках набуває значення . В інших точках наближено представляє функцію з тою чи іншою точністю (рис. 1).

Точки називають вузлами інтерполяції, функцію - інтерполюючою функцією, а задачу побудови - задачею інтерполяції.

Інтерполяційний поліном Ньютона:

Тут - розділена різниця першого порядку;

- розділена різниця другого порядку;

- розділена різниця n-ого порядку.

Приклад розрахунків

Використовуючи інтерполяційний поліном Ньютона, знайти наближене значення функції у точці . Функція задана таблично. Вузли інтерполяції нерівновіддалені.

x	-1.0	-0.2	1.8	2.7	4.0	2.0
y	5.0	4.6	5.7	5.2	4.3

Сформуємо таблицю значень вузлів та функції:

i	0	1	2	3	4
xi	-1	-0,2	1,8	2,7	4		x~=	2
yi	5	4,6	5,7	5,2	4,3

Побудуємо інтерполяційний поліном Ньютона. Побудуємо таблицю розділених різниць за формулами:

• першого порядку

• другого порядку

;

;

• третього порядку

; ;

• четвертого порядку

.

x~=2
i	xi	yi	f(xi;xi+1)	f(xi;xi+1;xi+2)	f(xi;xi+1;xi+2;xi+3)	f(xi;xi+1;xi+2;xi+3;xi+4)	x~ – xi
0	-1	5	-0,5	0,375	-0,2043	0,0561	3
1	-0,2	4,6	0,55	-0,3812	0,0759		2,2
2	1,8	5,7	-0,5556	-0,0622			0,2
3	2,7	5,2	-0,6923				-0,7
4	4	4,3					-2

Тепер знайдемо значення полінома в заданій точці:

.

5,653402