Тема 4. Задачі коші

Задача Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку формулюється так: знайти функцію

,

(1)

що є розв’язком диференційного рівняння

(2)

і задовольняє початковій умові

.

(3)

Чисельні методи розв’язування задачі Коші подають розв’язок у вигляді таблиці чисел, тобто знаходять значення функції (1) в окремих точках (i=0,1,2,…).

Найпростішим методом розв’язування задачі Коші (1)-(3) є метод Ейлера. Його ідея полягає в заміні інтегральної кривої (1), що проходить через точку ламаною лінією з вершинами (рис. 1), які визначаються за ітераційними формулами:

, , (i=0,1,2,…).

(4)

Недоліком метода Ейлера є його низька точність, яка пропорційна величині h. Тобто, щоб уточнити результат на один десятковий знак, необхідно зменшити крок в десять разів. Тому цей метод застосовують для орієнтовних розрахунків.

Більш точним є вдосконалений метод “предиктор-коректор” (інша назва - метод Ейлера-Коші), за яким спочатку визначають “грубе” наближення розв’язку

,

(5)

звідки знаходять направлення інтегральної кривої:

.

(6)

Потім вважають:

, (i=0,1,2,…).

(7)

Похибка методу “предиктор-коректор” має порядок .

В обчислювальній практиці найбільш часто використовують метод Рунге-Кутти, який має точність пропорційну . Приведемо його розрахункові формули:

(i=0,1,2,…,n).

(8)

Приклад розрахунків

Знайти наближений розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку на заданому проміжку методом Ейлера:

y(x₀)=y(0)=1 на інтервалі [0; 0,5].

h=		0,05		x0=	0		y0=		1	y'=f(x,y)=2x+y2
Метод Ейлера
i	xi		yi			f(xi,yi)
0	0		1			2
1	0,05		1,1			2,245265
2	0,1		1,212263			2,541356
3	0,15		1,339331			2,903377
4	0,2		1,4845			3,352438
5	0,25		1,652122			3,918714
6	0,3		1,848057			4,646461
7	0,35		2,080381			5,602544
8	0,4		2,360508			6,891505
9	0,45		2,705083			8,683514
10	0,5		3,139259			11,26916

Побудуємо графіки отриманих розв’язків: