1. Временная когерентность

2. Уравнение реальных волн

Мы рассмотрели интерференцию волн, описываемых уравнениями вида:

(1)

Однако такие волны являются математической абстракцией, поскольку волна, описываемая (1), должна быть бесконечной во времени и пространстве. Только в этом случае величины могут быть определенными константами.

Реальная волна, образующаяся в результате наложения цугов от различных атомов, содержит в себе составляющие, частоты которых лежат в конечном диапазоне частот (соответственно волновые векторы в ), а А и  испытывают непрерывные хаотические изменения. Колебания, возбуждаемые в некоторой точке накладывающимися реальными волнами, можно описать выражением:

и (2)

Причем хаотические изменения функций от времени в (2) являются независимыми.

Для простоты анализа положим амплитуды волн постоянными и одинаковыми (экспериментально это условие реализуется достаточно просто):

Изменения частоты и фазы можно свести к изменениям только частоты или только фазы. Действительно, допустим, негармоничность функций (2) обусловлена скачками фазы. Но, по доказываемой в математике теореме Фурье, любую негармоническую функцию можно представить в виде суммы гармонических составляющих, частоты которых заключены в некоторых . В предельном случае сумма переходит в интеграл: любая конечная и интегрируемая функция может быть представлена интегралом Фурье:

, (3)

где есть амплитуда гармонической составляющей частоты , аналитически определяемая соотношением:

(4)

Итак, негармоническая вследствие изменения фазы функция представима в виде суперпозиции гармонических составляющих с частотами в некотором .

С другой стороны, функцию с переменной частотой и фазой можно свести к функции с переменной только фазой:

(5)

Поэтому для укрощения дальнейшего анализа будем считать:

т. е. реализуем фазовый подход к понятию «Временная когерентность».

3. Фаза реальной волны, как случайное блуждание

Поведение во времени фазы реальной волны является случайным блужданием: если некоторая величина изменяется скачками равными , причем скачки и равновероятны, то такое поведение называют случайным блужданием.

Для нас представляет интерес оценить чему будет равно среднее значение после шагов, если блуждание многократно повторять, начиная с .

Допустим после шагов изменения .

Тогда после следующего

Среднее значение после после шага

Среднее значение знакопеременной величины равно нулю . Поэтому

Следовательно, с каждым шагом среднее значение увеличивается на . Поэтому, если исходное значение равно нулю, то после шагов

Вывод: величина, совершающая случайные блуждания, с течением времени все дальше удаляется от начального значения.

Именно так ведет себя фаза реальной волны. В результате наложения излучения большого количества цугов отдельных атомов фаза реальной волны совершает случайные блуждания, и со временем удаляется от первоначального значения и, спустя некоторое время, «забывает» его. Волна перестает быть когерентной самой себе.

Время, за которое случайное изменение фазы достигает значения порядка , называется временем когерентности.