2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Принцип Гюйгенса позволяет в принципе объяснит проникновение света в область геометрической тени, однако ничего не говорит об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса указанием на то как следует рассчитывать интенсивность излучения от элемента волновой поверхности в различных направлениях, а также указанием на то, что вторичные волны являются когерентными, и при расчете интенсивности света в некоторой точке необходимо учитывать интерференцию вторичных волн.

М атематически принцип Гюйгенса - Френеля состоит в следующем. Каждый элемент волновой поверхности является точечным источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна . Поскольку в сферической волне амплитуда убывает по закону , в точку приходит колебание

(1)

- коэффициент, зависящий от угла между нормалью к - ортом и направлением в точку наблюдения . является плавно изменяющейся функцией, причем , а

Результирующее колебание от всей поверхности является суперпозицией колебаний (1) от всех ее элементов:

(2)

Формула (2) является аналитическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля.

Смысл принципа Гюйгенса – Френеля заключается в том, что при вычислении интенсивности света в точке наблюдения реальный источник световой волны можно заменить совокупностью вторичных, расположенных вдоль волновой поверхности.

3. Метод зон Френеля

В связи с тем, что вычисления по формуле (2) часто оказываются весьма сложными, Френель разработал метод, позволяющий в симметричных случаях находить амплитуду результирующего колебания простым алгебраическим или геометрическим сложением.

Р ассмотрим метод зон Френеля на примере волны, распространяющейся от точечного источника в однородной среде. Волна будет сферической, и волновые поверхности - сферы. Допустим, что по линии, соединяющей источник и точку наблюдения , волновая поверхность, находится на расстоянии от источника и от точки наблюдения. Разобьем мысленно волновую поверхность на участки в виде кольцевых зон таким образом, чтобы расстояния от границ участков до точки наблюдения отличались на . Тогда расстояние от внешнего края m-ой зоны до точки будут определяться соотношением:

.

Построенные таким образом участки волновой поверхности называются ЗОНАМИ ФРЕНЕЛЯ.

Важнейшее свойство зон Френеля заключается в том, что колебания, создаваемые волнами, пришедшими от любых двух соседних зон в точку наблюдения, совершаются в противофазе, т.е. векторы электрического поля (светового вектора) оказываются в каждый момент времени противоположно направленными. Это следует из того, что для каждой точки в одной зоне обязательно найдется точка в другой зоне, расстояние от которой до точки наблюдения отличается на . Все точки волновой поверхности совершают колебания в одной фазе. Поэтому колебания от этих двух точек будут сдвинуты во времени на половину периода, поскольку расстояние в половину длины волны она проходит за половину периода. Соответственно суммарное колебание от всех точек одной зоны сдвинуто по фазе относительно результирующего колебания от точек соседней зоны на .

Отметим, что колебания, создаваемые точками, расположенными на краях данной зоны также совершаются в противофазе.

Р асчеты показывают, что при не очень больших номерах зон Френеля площади зон примерно одинаковы. Это позволяет утверждать, что амплитуды колебаний от соседних зон примерно одинаковы. Однако с увеличением номера зоны происходит, хотя и очень небольшое, увеличение расстояния до точки наблюдения, и возрастает угол , образованный нормалью к поверхности зоны и направлением в точку наблюдения. Плавно изменяющийся множитель уменьшается. Влияние этих двух факторов приводит к тому, что последовательность амплитуд колебаний от зон Френеля образует монотонно убывающую последовательность:

(3)

При этом можно утверждать, что между амплитудами трех любых ближайших зон имеется соотношение:

. (4)

Учитывая фазы колебаний, для результирующего колебания от всех зон можно написать следующее выражение:

(5)

Представим знакопеременную сумму (5) в виде:

(6)

Легко видеть, что, в силу соотношения (4), каждая из скобок в (6) равна нулю, а

(6)

Таким образом, полностью открытая волновая поверхность создает в точке наблюдения колебание с амплитудой, равной половине амплитуды, создаваемой первой зоной Френеля… Следовательно, закрыв все зоны, кроме первой, можно создать в точке наблюдения колебание с амплитудой в два раза большей, чем от источника света непосредственно. Отметим, что интенсивность света, пропорциональная квадрату амплитуды, увеличится при этом в 4 раза!