§1.Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі.

Егер

сызықтық теңдеулерінің коэффициенттері тұрақтыға тепе-тең болса, онда ол коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Біз бұл параграфта коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті

теңдеуін қарастырамыз және коэффициенттерін нақты сандар деп есептейміз. Теңдеудің реті болса, . Әрбір -ретке дейін дифференциалданатын функциясына оның туындыларын сәйкес қоятын дифференциалдық оператор

енгізу арқылы (1) теңдеуді былай жазуға болады

Ал

белгілеуін енгізу арқылы (1) теңдеуді ықшам түрге

келтіруге болады. Әдетте (2) формула бойынша анықталған өрнегін стационар (коэффициенттері тұрақты) дифференциалдық оператор немесе операторлық көпмүшелік деп атайды. Бұл оператордың сызықтық оператор екені коэффициенттері функция болатын жалпы жағдайдағы операторы үшін белгілі.

Төменде (1) теңдеудің базисін құру үшін – дәрежелі алгебралық теңдеудің түбірлерін табу жеткілікті.

Операторлық көпмүшеліктің кейбір қасиеттерін атап өтелік. операторымен бірге

операторлық көпмүшелігін қарастыралық. Мұндағы – тұрақтылар. операторларының қосындысы – ретке дейін дифференциалданатын функциясына әсері

теңдігі арқылы анықталатын операторды атайды. Ал операторларының көбейтіндісі деп ретке дейін дифференциалданатын функциясына әсері

арқылы анықталатын операторды атайды. Бұл анықтамалардан мына теңдіктердің

орындалатыны көрініп тұр. Мұндағы бірінші теңдікте егер немесе егер . Соңғы теңдіктен операторлар үшін коммутативтік қасиет орындалатыны көрініп тұр. Ал дистрибутивтік заңның орындалуы қосындыны дифференциалдау ережесінен тікелей алынады. Сонымен, операторлық көпмүшеліктерді өзара қосу мен көбейту амалдары жай көпмүшеліктерді қосу мен көбейту ережелерінен аумайтыны дәлелденіп тұр. Әрбір операторына немесе (1) теңдеуге белгісіз параметр бойынша жазылған

көпмүшелігін сәйкес қоямыз. Бұл көпмүшелікті құру үшін операторындағы - ретті туындыны параметр - ның - дәрежесімен ауыстыру жеткілікті. Әдетте бұл көпмүшелігі сипаттаушы көпмүшелік деп аталады.

Егер болса (1) теңдеу бірінші ретті сызықтық теңдеуге айналар еді де, оның жалпы шешімі

функциясы болар еді. Шешімнің бұл түрі (1) теңдеудің шешімдерін болған жағдайда да көрсеткіштік функция көмегімен іздеуге нұсқайды. Эйлердің көрсетуі бойынша (1) теңдеудің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

Мұндағы - ретке дейін дифференциалданатын белгісіз жаңа функция, жоғарыда аталған белгісіз нақты не комплекс сан.

ЛЕММА. Мынадай тепе-теңдік орындалады:

Мұнда

ДӘЛЕЛДЕУІ. Көбейтіндінің туындысы үшін дәлелденген Лейбниц формуласын пайдаланамыз.

Енді теңсіздігі орындалғанда , болатынын және туындының сызықтық амал екенін ескерсек, онда

теңдігін аламыз. Мұнда Лемма дәлелденді.

САЛДАР.

Леммадан пен тек қана мына теңдеуді

қанағаттандырғанда ғана (3) фуекция (1) теңдеудің шешімі болатыны шығады.

Лемманың салдарынан саны тек

теңдеуінің түбірі болғанда ғана функциясы (1) теңдеудің шешімі болатыны алынады. Соңғы (4) теңдеу сипаттаушы теңдеу деп, ал оның түбірлері сипаттағыш сандар деп аталады. Сипаттаушы теңдеу түбірлерінің әр түрлі не еселі болуларына байланысты екі жағдай қарастырылады.

1 - ЖАҒДАЙ. Сипаттағыш сандар әр түрлі, яғни болсын. Онда . Бұл жағдайда әрбір үшін:

Бұл теңдеудің кез-келген үшін функциясы шешім болатыны көрініп тұр. Бізге бір ғана базис құру жеткілікті болғандықтын, осы дара шешіммен қанағаттануымызға болады. Табылған және мәндерін әрбір үшін (3) формулаға қойып, (1) теңдеудің шешімін аламыз:

Бұл шешімдер - де (яғни ) нақты немесе сандар өрісіне қатысты сызықтық тәуелсіз. Егер нақты сандар болса, онда (5) шешімдер нақты шешімдер болады. Олар - де сызықтық тәуелсіз болғандықтын, базис құрайды. Сондықтын (1) теңдеудің жалпы шешімі бұл жағдайда

болады. - нақты еркін тұрақтылар.

Енді түбірлер әртүрлі бола берсін де, олардың ішінде комплекс мәнділері бар болсын. осындай комплекс түбірлердің біреуі болсын. Онда оның түйіндес мәні де (4) теңдеудің түбірі болады. Себебі, (4) теңдеудің коэффициенттері нақты сандар. Шешімдерінің (5) формуласы бойынша түбіріне

комплекс шешімі сәйкес келеді. Коэффициенттері нақты сандар (не функциялар) болатын сызықтық біртекті теңдеудің комплекс шешімінің нақты және жорамал бөліктері өз алдарына шешім болатыны белгілі.

Сондықтан

функциялары - (1) теңдеудің нақты шешімдері. Олар - де сызықтық тәуелсіз. Демек олар базистік шешімдердің қатарына жатады. Дәл осылай, түйіндес түбіріне де екі нақты шешім

сәйкес келеді. Бұлардың біріншісі (6) шешімдердің біріншісіне тепе-тең, ал екіншісі (6) шешімдердің екіншісінен тек таңбасының қарама-қарсылығымен ғана ажыратылады, яғни түйіндес түбір (6) шешімдермен сызықтық тәуелсіз болатын жаңа нақты шешімдер тудырмайды. Сондықтан сипаттаушы теңдеудің комплекс түйіндес екі түбіріне (6) түрдегі сызықтық тәуелсіз екі нақты шешім сәйкес келеді. Түбірлердің бәрі бірдей комплекс болмай, кейбіреулері нақты болса, онда оларға сәйкес келетін шешімдер (5) түрде қала береді.

Сонымен барлық сипаттағыш сандар әр түрлі болған жағдайда оларға мына түрдегі

сызықтық тәуелсіз нақты шешімдер сәйкес келеді. Олардың кез-келген тұрақты нақты коэффициенттер арқылы құралған сызықтық комбинациясы (1) теңдеудің нақты жалпы шешімін береді.

МЫСАЛДАР. Төмендегі теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

1. - сипаттаушы теңдеудің түбірлері. Сонда функциялары теңдеудің шешімі және олар өзара сызықтық тәуелсіз. Жалпы шешім: ( - кез-келген тұрақтылар)

2. Сипаттағыш сандар . Сондықтан функциялары - де теңдеудің базисін береді. Жалпы шешім:

3. Сипаттаушы теңдеудің үш түбірі бар: .

Сондықтан

функциялар-теңдеудің базисі. Олай болса

функциясы - теңдеудің жалпы шешімі.

4. Бұл теңдеудің комплекс мәнді жалпы шешімін табу керек болсын.

Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің комплекс саннан түбір алу үшін қолданылатын Муавр формуласына

сүйеніп табамыз. Сонда

Бұдан . Сондықтан берілген теңдеудің комплекс мәнді жалпы шешімі

2 - ЖАҒДАЙ. Сипаттағыш сандардың арасында өзара теңдері (яғни еселі түбірлер) бар. сипаттаушы теңдеудің еселі нақты немесе комплекс түбірі болсын. Онда бірақ . Сондықтан үшін жазылатын теңдеудің түрі мынадай болады:

Бұл теңдеудің шешімдері бар екені көрініп тұр. Ол шешімдер - де сызықтық тәуелсіз. Шешімдердің (3) формуласына мәнін және - тің мәндерін кезегімен қойып, (1) теңдеудің мына түрдегі

дара шешімін аламыз. Бұл шешімдер - де сызықтық тәуелсіз. Егер нақты түбір болса, онда (7) шешімдер де нақты. Сондықтан кез-келген нақты еселі нақты түбірге (7) түрдегі нақты шешімдер сәйкес келеді. Егер - де (4) теңдеудің еселі түбірі болады. Шешімдердің (7) формуласы бойынша түбіріне (1) теңдеудің

шешімдері сәйкес келеді. Бұлар - комплекс шешімдер. Олардың нақты және жорамал бөліктерін ажыратып, мынадай нақты шешімдер аламыз:

Бұл шешімдер - де сызықтық тәуелсіз. Түбірлер әр түрлі болған жағдайда дәлелденген секілді, еселі комплекс түйіндес түбірі сызықтық жаңа нақты шешімдер тудырмайтынына көз жеткізу оңай.

Сонымен еселі комплекс түйіндес түбіріне (8) түрдегі нақты шешімдер сәйкес келеді.

Екінші жағдай бірінші жағдайды қамтитыны өздігінен түсінікті. Бірінші жағдайда түбірлердің еселіктері бірге тең ( ).

Екі жағдайды біріктіре келе алатын ереже мынадай: сипаттаушы теңдеу түбірлерінің әр түрлі немесе еселі (нақты немесе комплекс мәнді) болатынына сай шешімдерді (5) (не (6)) немесе (7) (не (8)) түрінде аламыз. Нәтижесінде (4) теңдеудің барлық түбіріне сәйкес сызықтық тәуелсіз шешімдер табылады. Жалпы шешім олардың еркін тұрақтылармен алынған сызықтық комбинациясына тең.

Ескерту. Ілгеріде қарастырылған (*) теңдеудің шешімі тек функциясы ғана емес, функциясы да болатыны көрініп тұр. Мұндағы - еркін тұрақты. Сол сияқты еселі түбір жағдайында (**) теңдеудің шешімдері , функциялары ғана емес, олардың кез-келген тұрақты коэффициенттернен алынған сызықтық комбинациясы болатыны көрініп тұр. Осыған орай, сәйкес дара шешімдердің жалпы түрі мынадай

болады. Егер түбірлер комплекс мәнді болса, онда жай немесе еселі түбіріне сай дара шешімдердің жалпы түрі төмендегідей болады:

Атап өтетін жайт - қай жағдайға да шешімге кіретін еркін тұрақтылардың саны осы шешім сәйкес келетін түбірдің еселігіне тең. Бұл түсінікті де, себебі түбірге сәйкес келетін сызықтық тәуелсіз шешімдердің саны түбірдің еселігіне тең. Сондықтан жалпы шешімге қосылғыш ретінде енетін, белгілі бір түбірге сәйкес болатын шешімдердің сызықтық комбинациясында саны түбірдің еселігіне тең еркін тұрақтылар болады.

МЫСАЛДАР. Берілген теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

1. сипаттаушы теңдеудің

үш еселі бір ғана түбірі бар: . Сондықтан (7) формула бойынша оған дербес шешімдері сәйкес келеді. Олар - де сызықтық тәуелсіз. Теңдеудің жалпы шешімі:

2. Сипаттаушы теңдеудің 1 жай, 1 екі еселі түбірлері бар:

Бұл түбірлерге шешімдері сәйкес келеді. Олар - де сызықтық тәуелсіз болғандықтан, теңдеудің жалпы шешімі: болады.

3. Сипаттаушы теңдеу

екі еселі комплекс түбірлерге ие: Түйіндес түбірлердің біреуі ғана жеткілікті болғандықтан, теңдеудің бірінші түбірін алайық. Оған

комплекс шешімдері сәйкес келеді. Олардың нақты және жорамал бөліктерін ажыратып, 4 нақты шешім

аламыз. Олар - де теңдеудің базисін құрайды. Сондықтан

:

- теңдеудің жалпы шешімін береді.

4. Сипаттаушы теңдеудің түбірлері . Сондықтан , теңдеудің базисін құрайды, ал

функциясы жалпы шешімі болады.

5. Бұл теңдеудің комплекс мәнді жалпы шешімін табу керек болсын. Сипаттаушы теңдеудің

екі еселі түбірі бар: . Олай болса, берілген теңдеудің комплекс мәнді жалпы шешімі