§3.Біртекті емес бөлігі тригонометриялық функциялар енетін квазикөпмүшелік болатын теңдеулердің дара шешімін табу.

Жоғарыда айтылғандарды ескеріп, көрсетілген әдісті (1) теңдеудің оң жағы мына түрде

болғанда да қолдануға болады. Мұнда нақты сандар, ал ең болмағанда біреуінің дәрежесі – ге тең, ал екіншісінің дәрежесі одан аспайтын, коэффициенттері нақты көпмүшеліктер. Эйлер формуласын пайдаланып функцияссын мына түрде

жазалық. Сонан кейін (1) теңдеуге

ауыстыруын енгізейік. Мұнда ізделінетін жаңа функциялар. Енді мына белгілеулер

енгізелік. Онда (1) теңдеу саны сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаған жағдайда мына түрге

ал сипаттаушы теңдеудің еселі түбірі болған жағдайда мына түрге

келтіріледі. Бұл теңдеулер сәйкес (6) немесе (10) теңдеулерден айнымайды, тек мұнда мен көпмүшелігінің коэффициенттері комплекс сандар болып тұр. Сондықтан осы соңғы теңдеулердің дара шешімі жоғарыдағы формулалар бойынша табылады, тек олардағы және көпмүшеліктерінің коэффициенттері комплекс сандар болады. Бұл көпмүшеліктер үшін

белгілеулерін енгізіп, оларды шешімнің формуласына қою арқылы (1) теңдеудің дара шешімін саны (4) теңдеудің түбірі болмаған кезде мына түрде

ал саны (4) теңдеудің еселі түбірі болған кезде мына түрде

түрінде аламыз.

Төмендегі теңдеулердің дара шешімдерін табу керек.

1. . Мұнда , ал . Сондықтан

Сонда (13) теңдеу мына түрде жазылады:

Бұдан

яғни

Сондықтан (15) формулаға сүйеніп, берілген теңдеудің дара шешімі алынады:

2.

II-ТАРАУ. Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес жүйені шешу.

§1. Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті жүйені матрицалық әдіспен шешу

Коэффициенттері нақты сандар болатын сызықтық біртекті дифференциалдық жүйе

қарастыралық. Мынадай векторлық-матрицалық белгілеулер

енгізу арқылы бұл жүйені векторлық теңдеу

түрінде жазуға болады.

Экспоненциалдық нақты матрица

(1) жүйенің матрицалық шешімі болып табылады. Себебі ол матрицалық теңдеуінің шешімі. Шынында да,

Аталған матрицасы шартын қанағаттандырады. Олай болса, (1) жүйенің нақты іргелік матрицасы. Сондықтан (1) жүйенің жалпы шешімі

түрінде болады. Мұндағы еркін тұрақты вектор.

Егер (1) жүйеге қосымша бастапқы шарт

қойылса, онда (3) шешімді бұл шартқа қойып, векторының мәнін анықтаймыз:

Бұл табылған – ның мәнін (3) формулаға қойып, матрицасы мен

коммутативтік қасиетін ескеріп, (3) Коши есебінің шешімін

аламыз.

Егер матрицасын комплекс сандар өрісінде жордандық түрге келтіретін матрицаны арқылы белгілесек , онда болады да, (2) іргелік матрица былай

өрнектеледі. Іргелік матрицаны оң жағынан ерекше емес матрицасына көбейту арқылы алынатын матрицасы да іргелік матрица болып табылады. матрицасының барлық меншікті сандары нақты болса, онда матрицасы нақты болғандықтан матрицасы да нақты болады. Бұл жағдайда нақты іргелік матрица. Егер матрицасының, меншікті сандарының арасында комплекс мәнділері де бар болса, онда матрицасы комплекс мәнді болғандықтан матрицасы да комплекс мәнді болады. Бұл жағдайда комплекс іргелік матрица.

матрицасының барлық меншікті сандары нақты болсын. Оларға сәйкес табылатын элементар бөлгіштердің жай немесе еселі болуларына байланысты екі жағдай қарастырайық.

ЖАҒДАЙ. матрицасының барлық элементар бөлгіштері жай бөлгіштер болады деп есептейік: Онда матрицасының жордандық түрі таза диагональдық, яғни түрінде болады да, экспоненциалдық матрица мына түрде

жазылады. Сондықтан жалпы шешім бұл жағдайда мына түрде

болады. Мұнда деп матрицасын жордандық түрге келтіретін матрицаны белгілеп отырмыз. Егер

болса, онда

болады. Мұндағы векторлары - матрицасының меншікті санына сәйкес келетін меншікті векторлары. Олар нақты мәнді.

ЖАҒДАЙ. матрицасының элементар бөлгіштері ішінде еселілері бар немесе олардың бәрі бірдей еселі:

Онда матрицасының жордандық түрі мынандай

болады. Бұл жағдайда

болғандықтан, жалпы шешімді мына түрде аламыз:

Мұндағы векторларының арасында векторы меншікті де, ал қалған векторы тіркес болып табылады. Іргелік матрицаға кіретін шешім топқа бөлінеді (элементар бөлгіштердің саны қанша болса, соншаға). Әр топтағы шешімдердің саны, сәйкес келетін элементар бөлгіштердің дәрежесіне тең болады. Атап айтқанда бірінші топта , екінші топта , т.с.с ші топта шешімдері бар. Әр топтағы, мысалы топтағы, шешімдердің түрлері мынадай:

Мұнда

ал

. Енді сипаттағыш сандар арасында комплекс мәнділері болатын жағдайды қарастырайық.

Сипаттаушы теңдеудің бір ғана комплекс мәнді, еселі түбірі бар болсын, онда теңдеуінің коэффиенттері нақты сандар болғандықтан саны да бұл теңдеудің еселі түбірі болады. Қарастырып отырған жағдайды тағы да екі ішкі жағдайға бөлейік.

ЖАҒДАЙ. санына сәйкес келетін элементар бөлгіштердің бәрі жай

Бұл жағдай матрицасының рангі теңдігін қанағаттандыратын кезде болады. Ал болғандықтан бұл жағдайда санына жай элементар бөлгіштер

сәйкес келеді. Әлбетте сандарына сәйкес келетін меншікті векторлар жалпы алғанда комплекс мәнді болады. мен сандарына мына теңдіктерді

қанағаттандыратын сызықтық тәуелсіз (комлекс мәнді) меншікті векторлар сәйкес келеді. Мұндағы санына сәйкес келетін векторы мен санына сәйкес келетін векторы өзара комплексті түйіндес болып келеді. Шынында да (7) формуладан

Демек . Бұл жағдайда меншікті векторлар матрицасының жордандық матрицаға келтіретін матрицасының тік жолдарын беретін болғандықтан, бұл матрица да комплекс мәнді болады. Және оның санына сәйкес келетін меншікті векторлары мен санына сәйкес келетін меншікті векторлары өзара комплексті түйіндес болады. Әлбетте бұл жағдайда

іргелік матрицасы да комплекс мәнді болады ( және матрицалары комплекс мәнді).

Егер нақты шешімдерден тұратын іргелік матрица алғымыз келсе, онда сандарына сәйкес келетін сызықтық тәуелсіз нақты шешімдерді қарастыруымыз керек. Меншікті сан -ге сәйкес келетін

комплекс шешімдерді мына түрде жазайық:

Мұнда

нақты матрица болғандықтан әрбір , шешімінің нақты бөлігі

мен жорамал бөлігі

өз алдарына (1) жүйенің нақты шешімдері болады. Шынында да

Одан

теңдігін аламыз. Бұл , шешімдері сызықтық тәуелсіз болады. Меншікті санына сәйкес келетін әрбір шешімі

меншікті санына сәйкес келетін шешіміне комплексті түйіндес болады. Сондықтан олардың нақты бөліктері өзара тең, ал жорамал бөліктері тек таңбаларының қарама-қарсылығымен ғана ажыратылады. Олай болса түбірі сызықтық тәуелсіз нақты жаңа шешімдер тудырмайды. Яғни бұл жағдайда еселі меншікті сандарына сызықтық тәуелсіз нақты шешімдер (8), (9) сәйкес келеді. Бұларды қалған барлық нақты меншікті сандарға сәйкес табылатын сызықтық тәуелсіз нақты шешімдермен біріктіріп, нақты шешімдердің базисін не іргелік жүйесін аламыз. Оларды құрылған матрица (1) жүйенің нақты іргелік матрицасын береді.

ЖАҒДАЙ. Меншікті санына сәйкес келетін элементар бөлгіштердің ішінде еселілері бар немесе олардың бәрі бірдей еселі болсын:

Бұл жағдай матрицасының рангі теңдігін қанағаттандыратын кезде болады. Түйіндес санына сәйкес келетін элементар бөлгіштер де осы түрде болады. Меншікті сандарының әрқайсысына меншікті, тіркес векторлар сәйкес келеді. Бұл жағдайда да санына сәйкес келетін меншікті және тіркес векторлар санына сәйкес келетін осы аттас векторларға комплекс түйіндес болады. Шынында да тіркес векторлар үшін

ал меншікті векторлар үшін мұндай теңдіктер дәлелденді. Сондықтан мен түбірлерінің әрқайсысына топтан тұратын өзара сызықтық тәуелсіз комплекс мәнді шешімдер сәйкес келеді. Әрі санына қатысты табылған шешімдер санына қатысты табылған сәйкес (сәйкес векторлар арқылы өрнектелетін) шешімдерге комплексті түйіндес болып келеді. олай болса, саны санына сәйкес табылған шешімдермен сызықтық тәуелсіздікте болатын жаңа нақты шешімдер тудырмайды, яғни комплексті түйіндес еселі меншікті сандарына өзара сызықтық тәуелсіз нақты шешімдер сәйкес келеді. Бұл нақты шешімдерді қалған барлық меншікті сандарға сәйкес табылатын нақты шешімдермен біріктіріп, (1) жүйенің нақты базисін аламыз. Әлбетте базисті құрайтын шешімдердің саны – ге тең болады.

Егер комплекс мәнді бірнеше меншікті сан болса, онда олардың әрқайсысы үшін осы айтылғандарды қайталаймыз.

Сонымен, меншікті сандардың арасында нақтыларымен қатар комплекс мәнділері де болатын жалпы жағдайда іргелік матрица – былай жазуға болады: . Мұндағы – нақты матрицалар. матрицасы нақты болғандықтан матрицалары өз алдарына (1) жүйенің нақты шешімдерінен тұрады. Нақты меншікті сандарға сәйкес шешімдер тек матрицасына ғана кіреді. матрицасында бұл шешімдер қай тік жолда тұрса, матрицасында сол нөмірлі тік жолда нөлдік шешімдер тұрады. Ал комплекс мәнді меншікті сандарға сәйкес келетін шешімдердің нақты бөлігі – ге, ал жорамал бөлігі ге кіреді. Бұл айтылғаннан, жалпы жағдайда не матрицаларына кіріп тұрған шешімдердің бәрі бірдей өзара сызықтық тәуелсіз болмайтыны шығады. Яғни Базисті құрайтын шешімдер саны болғандықтан матрицаларын құрайтын нөлдік емес шешімдерінің ішінде тек шешім ғана өзара сызықтық тәуелсіз болады. Олардан құралған нақты іргелік матрица болады да, (1) жүйенің нақты жалпы шешімі түрінде жазылады. Мұндағы – еркін тұрақты векторлар.

МЫСАЛДАР. Төмендегі жүйелерді шешу керек.

1. ,

матрицасының меншікті сандарын табу үшін

сипаттаушы теңдеуін құрамыз. Анықтауышты ашсақ,

теңдеуі алынады. матрицасының сипаттағыш сандары болады. Олар әр түрлі болғандықтан матрицасының жордандық түрі мынадай болады:

матрицасын -ге келтіретін матрицасын табалық

Егер десек, онда

яғни меншікті векторлар болып табылады. Әрбір үшін, болғандықтан жүйесіндегі үш теңдеудің екеуі сызықтық тәуелсіз де, қалған біреуі олардың сызықтық комбинациясы болады. Сондықтын белгісіз -лердің біреуі таңдалып алынады да, қалған екеуі сызықтық тәуелсіз екі теңдеуден алынады, яғни меншікті векторы тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен анықталады. Шынында да, егер матрицасының меншікті санына сәйкес меншікті векторы болса, онда векторы да ( кез-келген тұрақты) матрицасының меншікті санына сәйкес келетін меншікті векторы болып табылады:

1) үшін:

2) үшін:

3) үшін:

Сонда жүйенің жалпы шешімі (5) формула бойынша былай жазылады:

2. ,

Сипаттаушы теңдеудің түбірлері: Сондықтан

1) үшін:

2) үшін:

Ал меншікті сандарына сәйкес келетін меншікті векторы меншікті векторына комплексті түйіндес болатыны жоғарыда көрсетілді:

санына сәйкес келетін нақты шешім

болады да, ал комплекстік түйіндес меншікті сандарына сәйкес келетін нақты шешімдер былай жазылады:

Жүйенің жалпы шешімі мына түрде болады:

2. ,

матрицасының меншікті сандары өзара тең

Сипаттаушы

матрицаның рангі Сондықтан элементар бөлшектер саны . Олай болса,

Бұл элементар бөлгіштерге төмендегідей Жордан клеткалары сәйкес келеді. Егер болса, яғни элементар бөлгіштердің дәреже көрсеткіштері болса, онда

ал егер де яғни болса, онда

Сонда клеткалардың орналасу ретіне дейінгі дәлдікпен Жордан матрицасы

немесе

түрінде болады. Біз бірінші түрін алайық. Онда

матрицалық теңдеуі элементар бөлгіштердің дәреже көрсеткіштеріне, яғни Жордан клеткаларының ретіне байланысты мына векторлық теңдеулер жүйесіне жіктеледі:

1)

2)

Мұндағы - меншікті, - тіркес векторлар. Әр векторлық теңдеу үш скалярлық теңдеулер жүйесіне эквивалентті. Ол жүйелерден құралған матрицаның рангі болғандықтан, үш теңдеудің біреуі ғана сызықтық тәуелсіз, ал қалған екеуі олардың салдары болады. Сондықтан үш белгісіздің екеуін таңдап аламыз да, біреуін бір теңдеуден табамыз.

1)

2)

Сонымен берілген жүйенің жалпы шешімін (6) формулаға сүйеніп, мына түрде аламыз:

Енді сызықтық біртекі емес дифференциалдық жүйе қарастыралық:

Мұндағы қандайда бір аралығындағы үзіліссіз болатын вектор функция. Бұл жүйенің жалпы шешімі

түрінде болады. Мұндағы (1) жүйенің іргелік матрицасы, еркін тұрақты вектор, ал Коши матрицасы. Егер бастапқы шарты қойылса, онда формуладан

алынады да, Коши есебінің шешімі мына түрде жазылады: