§3. Біртекті емес бөлігі тригонометриялық түрдегі вектор квазикөпмүшелік болатын сызықтық жүйенің дара шешімін табу әдісі.
Біздің
көрсеткен әдісіміз
саны мен
көпмүшелігінің коэффициенттерінің
нақты немесе комплекс болуынан тәуелді
емес. Бұл әдісті сызықтық біртекті емес
теңдеу мынандай түрде болғанда да
қолдануға болады:
мұндағы
полиомиалдық векторлар,
дәрежесі
болатын,
дәрежесі
болатын көпмүшеліктер.
Жүйенің оң жағын Эйлер формуласы бойынша түрлендіреміз:
Белгілеу енгізелік:
мұндағы
әрбір
үшін
дәрежесі
болатын
көпмүшеліктер. (13) жүйеге мынандай
ауыстыру енгізейік:
Мұнда
жаңа комплекс мәнді вектор-функция,
-
матрицасын жордан формасына келтіретін
матрица. Белгілеу енгізіп:
мынандай теңдеу аламыз:
Бұл
жүйенің дара шешімін табу алдыңғы жолды
қайталайды.
дара
шешімін тауып алып, одан нақты
және
жорамал
бөлігін бөліп алып, (14)
формулаға
қою арқылы (7)
жүйенің мына түрдегі дара шешімін аламыз
мұндағы
-
матрицасының сәйкесінше нақты және
жорамал бөлігі.
(1) жүйенің дара шешімін -саны сипаттаушы теңдеудің еселі түбір болған жағдайда анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы да шығаруға болады. Онда (1) жүйенің дара шешімі мынандай түрде ізделінер еді
мұндағы
- анықталмаған коэффициенттер.
Коэффициенттерді (16)-ны (1) жүйеге қойып,
сәйкес мүшелерін теңестіру арқылы
табады. Осыған сәйкес (13) жүйені
сипаттаушы теңдеудің
-ретті
түбірі болған жағдайда да анықталмаған
коэффициенттер әдісімен шешуге болады.
Онда (13) жүйенің дара шешімі келесі түрде
ізделінеді:
мұндағы
(17)-ні (13) жүйеге қою арқылы табылатын,
анықталмаған коэффициентті, дәрежесі
болатын вектор-көпмүшеліктер. Бұл
әдістің тиімді еместігі көзге ұрып тұр.
МЫСАЛ.
сипаттаушы
теңдеудің түбірі емес.
(14)
ауыстырудан
кейін,
,
алатынымыз:
Жүйенің дара шешімі:
Пайдаланылған әдебиеттер.
1.Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -232 с.
2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967, -472 с.
3.Еругин Н.П., Штокало И.З., и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. -Киев: Вища школа, 1974. -295 с.
4.Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. -м.: ИЛ, 1958. -474 с.
5.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Изд-во МГУ, 1984. -295 с.
6.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1983. -332 с.
7.Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы. -Алматы: Қазақ университеті, 2009. -440 бет.
8.Федерюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1985. -448 с.
9. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1992. -128 с.