1. Основы финансовой математики

1.1. Временная стоимость денег

Денежные суммы изменяются во времени. Люди берут ссуды и самим ссужают деньги. При этом они намерены приобрести бизнес и за счет будущих доходов выплатить займ или накопить на машину или путешествие и для этого откладывают деньги на сберегательный счет. Для того, чтобы заинтересовать других людей давать ссуду, им обязуются вернуть в будущем бо'льшую сумму (то есть с процентом). Это и есть основание теории процентов.

Под процентными деньгами или кратко процентами (interest), в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т. д. Какой бы вид не имели проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент. Практика выплаты процентов за выданные в долг деньги существовала задолго до нашей эры. Например, в Древней Греции взымали от 10 до 36% в год. По «Русской Правде» годовой рост занятого капитала определялся в 40% . В современных условиях проценты − один из важнейших элементов любых видов инвестиционных, кредитных и коммерческих контрактов, экономических договоров и соглашений.

При заключении финансового соглашения стороны (кредитор и заёмщик) договариваются о размере процентной ставки (rate of interest) − отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. Сумму процентных платежей определяют исходя из размера ссуды, общего её срока и уровня процентной ставки. Ставка измеряется в процентах или долях, в виде натуральной или десятичной дроби (размерностью − 1/период).

Таким образом:

1) Деньги являются специфическим экономическим ресурсом и,

как и любой другой ресурс имеют свою цену.

2) Ресурс для своего использования требует времени.

Существуют различные ставки и способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов, формы осуществления операций или сделок. Начисление процентов, как правило, происходит дискретно, причем в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев (например, в анализе долгосрочных операций) удобно применять непрерывные проценты.

Существуют процентные и учетные ставки. Различие между ними обусловлено выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов.

Если текущую сумму обозначить ─ S_0, а возвращаемую (наращенную) сумму ─ S_n , то для процентной ставки i сумма процентов S_n─ S₀, начисленная за один период, относится к текущей стоимости i = (S_n─ S₀)/ S₀ , а для учетной ставки d к будущей наращенной стоимости d = (S_n─ S₀)/ S_n .

Проценты по ставке i в профессиональной банковской литературе называют декурсивными, а по ставке d антисипативными. Связь между этими ставками можно выразить формулами:

i = d / (1─d) и d = i / (1+ i). (1)

Отсюда можно увидеть, что процентная ставка всегда больше учетной i > d (или равна ей, учитывая случай непрерывного начисления процентов, когда разность S_n– S₀ стремится к нулю).

Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего периода начисления (простые процентные ставки) или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами (сложные процентные ставки).

При начислении простых процентов суммы изменяются в арифметической прогрессии (возрастающей или убывающей), так как каждый последующий член увеличивается или уменьшается на постоянную величину.

При начислении сложных процентов суммы изменяются в геометрической прогрессии (возрастающей или убывающей), так как каждый последующий член умножается или делится на постоянную величину.

В инвестиционном анализе, как правило, используется процентная ставка, а не учетная и сложные проценты, а не простые. Специфика реальных промышленных инвестиций заключается в том, что вкладываются большие суммы, на продолжительный срок, а получаемые в будущем доходы очень часто реинвестируются. Отсюда следует необходимость учета фактора времени в инвестиционных расчетах.

Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Финансовые операции, проводимые в инвестиционной деятельности, заключаются во вложении капитала сейчас на определенный период, а затем получении в будущем увеличенного капитала.

Необходимость учета фактора времени определяется сущностью самого процесса финансирования и кредитования и выражается в виде принципа неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of money). Будущие деньги дешевле сегодняшних денег.

В самом деле, даже если отвлечься от обесценивающей их инфляции и риска инвестирования, отмеченная неравноценность двух одинаковых сумм определяется, прежде всего, тем, что теоретически любая сумма может быть инвестирована и принести доход.

Очевидным следствием принципа неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени в финансовом и экономическом анализе.

Таким образом, основными причинами, определяющими различную стоимость денег в разные моменты времени являются:

1) альтернативность инвестирования, обусловленная свободой выбора;

2) инфляция;

3) риск.

Денежные суммы S(T) в момент времени Т и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения i, если S(T) = s(t)(1+ i)^{(Т– t)}.

При T>t это означает, что сумма s(t), наращенная по ставке i cложных процентов, превратится в момент Т в сумму S(T); однако можно считать, что Т может быть и меньше t, тогда это означает, что сумма S(T), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится, в момент t в сумму s(t).

Указанная выше формула автоматически учитывает оба эти случая. Вместе с тем можно сказать и по другому: при Т>t эквивалентность сумм S(T) и s(t) означает, что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в прошлое за каждый единичный промежуток в 1/(1+i) раз, к моменту t превратится в точности в сумму s(t) = S(T)/[(1+ i)^{(Т– t)}]. Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называется приведением или нахождением её современной величины. Сама же формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени называется математическим дисконтированием. Выбирая точку приведения на оси времени Т=0 и учитывая знак t, получим:

S₀ = S_t α_t = S_t (1+ i) ^–t, (2)

где α_t ─ общая функция (коэффициент) приведения по фактору времени;

S_t ─ номинальная сумма в момент времени t ;

S₀ ─ приведенная сумма в момент времени t = 0;

i ─ процентная ставка в долях на период;

t ─ номер периода (шаг расчета).

Очевидно, что при t > 0 коэффициент приведения α_t >1, то есть при движении из прошлого в настоящее и из настоящего в будущее происходит наращение (капитализация, компаундирование, мультиплицирование). При t < 0 коэффициент приведения α_t < 1, то есть при движении из будущего в настоящее и из настоящего в прошлое происходит дисконтирование (discount ─ скидка, снижение). Логика таких процессов представлена на рис.1.

Т = 0

настоящее

Рис. 1. Эквивалентность денежных сумм в разные моменты времени

Величина (1+i)^t = F₁(i, t) называется мультиплицирующим множителем (коэффициентом). Величина (1+i)^–t = F₂(i, t) называется дисконтным множителем (коэффициентом). Эти коэффициенты являются распространенными и поэтому табулированы (см. приложение).

Итак, в любой финансовой сделке (см. формулу 2) присутствуют четыре величины исходная сумма S_t, приведенная сумма S₀, процентная ставка i и временной период t. Отсюда возникает четыре типа задач: вычисление наращенной суммы инвестиций; вычисление текущей стоимости инвестиций; вычисление периода (срока) финансовой операции; вычисление процентной ставки.

Пример 1. Вкладчик положил в банк сумму S₀ = 3000 руб. под 30% годовых на срок t = 5 лет. Определить величину возвращаемой суммы.

Решение. S_t = S₀ α_t = S₀ (1+i)^t = 3000(1+0,3)⁵= 3000∙3,713=11139 руб.

Пример 2. Вкладчик хочет накопить за t = 5лет сумму S_t = 56000 руб., при годовой ставке 30%. Сколько требуется положить на срочный вклад «сегодня» для получения желаемой суммы.

Решение. S₀ = S_t α_t = S_t (1+i)^–t = 56000(1+0,3) ^–5= 56000∙0,269=15082 руб.

Пример 3. Вкладчик положил в банк сумму S₀ = 2000 $ под 14% годовых. Через сколько лет накопится S_t = 10 000 $ ?

Решение. Срок наращения определится из условия: S_t = 2000(1+0,14) ^t =10000.

Тогда t = = = 12,3 года.

Пример 4. Вкладчик имеет S₀ = 5000 руб. Под какой процент необходимо положить эту сумму, чтобы получить через t = 3года S_t = 10000 руб.?

Решение. Процентная ставка определится из условия: S_t = 5000(1+ i)³ =10000.

Тогда i = = 0,26 или 26 % годовых.

Таким образом, рассмотрев формально формулу (2) состоящую из четырёх параметров видно, что вычисление каждого из них через известные другие имеет реальный практический смысл.

Вычисления по сложной процентной ставке, то есть когда возникает ситуация начисления процента на процент можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пример 5. Предприятию в начале года выдан кредит в размере 400 тыс. руб. на полгода (6 месяцев) под 5 % в месяц.

а) Какова будет величина долга в конце каждого месяца?

Решение. Применим многократно формулу (2).

В конце 1-го месяца долг составит 400,0∙1,05 = 420,0 тыс. руб.

В конце 2-го месяца долг составит 420,0∙1,05 = 441,0 тыс. руб.

В конце 3-го месяца долг составит 441,0∙1,05 = 463,0 тыс. руб.

В конце 4-го месяца долг составит 463,0∙1,05 = 486,0 тыс. руб.

В конце 5-го месяца долг составит 486,0∙1,05 = 510,5 тыс. руб.

В конце 6-го месяца долг составит 510,5∙1,05 = 536,0 тыс. руб.

То есть предприятию через полгода необходимо вернуть 536 тыс. руб. в том числе основной долг 400 тыс. руб. и проценты 136 тыс. руб. (536=400+136).

Итоговую сумму возврата долга можно вычислить быстрее, используя ту же формулу и учитывая число периодов начисления процентов.

В конце 6-го месяца долг составит S_t = 400(1+0,05)⁶ = 400∙1,05⁶ = 536 тыс. руб.

б) Какова будет величина долга в конце года при тех же условиях кредита?

Решение. В этом случае будет 12 периодов (месяцев) начисления процентов.

S_t = 400(1+0,05)¹² = 400∙1,05¹² = 400∙1,796 = 718,3 тыс. руб.

в) Какой же годовой процент (то есть за один период начисления) соответствует (эквивалентен) выше рассмотренным условиям кредита?

Решение. S_t = 400∙1,796 = 400(1+0,796)¹ = 400∙(1+i_э)¹ = 718,3 тыс. руб.

Отсюда видно, что i_э = 0,796 или 79,6 % в год, хотя номинальная ставка равна

j = 5 % мес. ∙12мес./год = 60 % в год.

Обычно в договорах принято указывать номинальную годовую ставку j и другие дополнительные условия кредита, например параметр m − число раз в году начисления процентов. В этом случае эффективная годовая ставка процента i_э показывает, какую годовую ставку следует установить при однократном начислении процентов, чтобы получить тот же финансовый результат − капитализацию инвестиций, что и при m кратном начислении процентов по ставке j/m. Формула расчета эффективной ставки имеет вид:

i_э = (1 + j/m)^m –1, (3)

Пример 6. Депозит в размере S₀ = 5000 руб. внесен в банк под j =36 % годовых.

а) Определить наращенную сумму через 4 года?

Решение. S_t = 5000∙(1+0,36)⁴ = 5000∙3,421 = 17105 руб.

б) Определить тоже самое при полугодовом начислении процентов (m = 2)?

Решение. S_t = 5000∙(1+0,36/2)^2∙4 = 5000(1+0,18)⁸ = 5000∙3,759 = 18794 руб.

в) Определить тоже самое при поквартальном начислении процентов (m = 4)?

Решение. S_t = 5000∙(1+0,36/4)^4∙4 = 5000(1+0,09)¹⁶ = 5000∙3,970 = 19852 руб.

г) Определить тоже самое при ежемесячном начислении процентов (m = 12)?

Решение. S_t = 5000∙(1+0,36/12)^12∙4 = 5000(1+0,03)⁴⁸ = 5000∙4,132 = 20661 руб.

д) Определить тоже самое при ежедневном начислении процентов (m = 360)?

Решение.S_t = 5000∙(1+0,36/360)^360∙4 = 5000(1+0,001)¹⁴⁴⁰= 5000∙4,218 = 21088 руб.

е) Определить тоже самое при непрерывном начислении процентов (m → ∞)?

Решение. При m → ∞ lim (1+j/m)^m = e^j , тогда

S_t = 5000∙e ^0,36∙4 = 5000∙ e ^1,44 = 5000∙4,221 = 21103 руб.

Из результатов примера 6 видно, что периодичность начисления процентов m существенно влияет на наращенную сумму (увеличивает её), то есть эффективная процентная ставка i_э тем больше, чем больше m и номинальная ставка j.

Непрерывное начисление процентов при заданных исходных данных оказалось близким по результатам наращения к ежедневному начислению.

Необходимо отметить, что формула (2) имеет место только в случае неизменной во времени сложной процентной ставке.

При переменной по годам (периодам начисления) процентной ставке возникает произведение коэффициентов наращения.

Пример 7. По договору займа предусмотрена следующая схема начисления сложных процентов: за первый год − 60 % годовых, за каждое последующее полугодие ставка повышается на 10 % (процентных пунктов). Определить коэффициент наращения за 2,5 года?

Решение.α_t=1∙(1+0,6)(1+ )(1+ )(1+ )=1∙1,6∙1,35∙1,4∙1,45=4,385

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Вкладчик хочет получить через 5 лет 5000 руб. при номинальной годовой ставке 10 %.

а) Определить какую сумму необходимо положить на депозит?

Решение.

б) Определить то же, что и при предыдущих условиях, но при ставке 20 %.?

Решение.

в) Определить то же, при предыдущих условиях, но при сроке 10лет?

Решение.

г) Определить то же, при предыдущих условиях, но при ежеквартальном начислении процентов?

Решение.

д) Определить то же, при предыдущих условиях, но при ежемесячном начислении процентов?

Решение.

е) Определить то же, при предыдущих условиях, но при ежедневном начислении процентов?

Решение.

ж) Определить то же, при предыдущих условиях, но при непрерывном начислении процентов?

Решение.

Задача 2. В 1624 году остров Манхеттен в центре Нью-Йорка был «куплен» у индейского вождя за 24 долл. Спустя 350 лет (в 1974 году) стоимость земли оценивалась примерно в 40 млрд. долл. Определите, какой средней ставке процентов годовых соответствует такой рост суммы?

Решение.

Задача 3. На вашем счете в банке 4000 руб. при 18 % годовых. Вам предлагают войти в венчурный проект и обещают через 6 лет утроение капитала. Что ответить: а) если не учитывать риск «венчура» и б) если учесть риск венчурного проекта в 5 % годовых?

Решение.

Задача 4. Рассчитать таблицу эффективных ставок при различной частоте начисления процентов m и заданной номинальной ставке j.

Решение.

j, %	iэ, %
	m=2	m=4	m=12	m=360
3
5
8
10
15
20
25

Задача 5. Некто хочет накопить на автомобиль ценой в 300 тыс. руб. за 5 лет.

а) Сколько необходимо внести в банк сейчас на срочный вклад при процентной ставке 20 % годовых?

Решение.

б) Через сколько лет возможно осуществление данной цели при возможности вклада 15 тыс. руб. при той же ставке процентов?

Решение.

в) Под какой процент необходимо внести средства для осуществления данной цели, если возможность вклада составляет 15 тыс. руб.?

Решение.

г) Какой цены автомобиль можно купить через 5 лет при тех же возможностях инвестора и тех же условиях банка?

Решение.