Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.. Найти современную и наращенную величину денежного потока платежей CF(t) = {−2000, 1; 1000,2; 1000, 3; 1000, 4}, при ставке процента i = 5% годовых.

Решение.

Задача 7. Создается фонд в течение n = 10 лет, взносы в который составляют R = 40 тыс. руб. в год. На собранные средства начисляются проценты по ставке i =10% годовых. Найти размер фонда?

Решение.

Задача 8. Имея обязательство на n =10 лет ежегодно выплачивать R =5000 руб. гражданин решил погасить его единовременно. Сколько необходимо заплатить при годовой ставке i =10%.

Решение.

Задача 9. В ходе судебного разбирательства выяснилось, что гражданин N ежемесячно недоплачивал налогов 100 руб. Налоговая инспекция хочет взыскать за 2 года с процентами (ставка i = 0,03 1/мес.). Сколько придется заплатить?

Решение.

Задача 10. По вине пенсионного фонда гражданину недоплачивали к пенсии 100 руб. ежемесячно в течение 10 лет. Суд обязал выплатить задолженность с процентами (номинальная годовая ставка j = 12%). Сколько получит пенсионер?

Решение.

Задача 11. Семья хочет накопить на дачу S_n = 12000 долл. За n = 6 лет. Какую сумму R (одинаковую) необходимо ежегодно откладывать, если годовая ставка процента i = 8% .

Решение.

Основные выводы по теме

1. Для нахождения стоимости потока платежей необходимо привести каждый платеж к одному моменту времени и затем их алгебраически сложить (не правильно складывать неприведенные платежи).

2. Наращенная и современная стоимость денежного потока находятся в такой же временной связи, как и разовые отдельные платежи (отличаются в (1+i)^T раз).

3. Авансовые платежи (платежи пренумерандо) увеличивают и современную и конечную стоимость потока в (1+i) раз.

4. Стоимость постоянной ренты равна сумме членов геометрической прогрессии. Для конечной стоимости ренты − возрастающая прогрессия. Для начальной стоимости ренты − убывающая прогрессия.

5. Коэффициент наращения постоянной конечной ренты показывает во сколько раз конечная (наращенная) стоимость ренты больше её рентного платежа и является будущей стоимостью единичного денежного потока, длящегося n периодов с процентной ставкой i.

6. Коэффициент приведения постоянной конечной ренты показывает во сколько раз начальная (дисконтированная) стоимость ренты больше её рентного платежа и является современной стоимостью единичного денежного потока, длящегося n периодов с процентной ставкой i.

7. Перенос рентных платежей в начало периода (платежи пренумерандо) увеличивают стоимость ренты в (1+i) раз.

1.3. Определение параметров ренты

Выше уже было показано, что постоянная, конечная, годовая рента характеризуется годовым платежом R [ед./год], сроком ренты n [лет] и процентной ставкой i [1/год].

Кроме уже рассмотренных задач по определению конечной и начальной стоимости ренты остальные величины, характеризующие ренту, не являются независимыми, поэтому если задать некоторые из них, то остальные можно определить.

Отсюда дополнительно возникает три типа практических задач в двух вариантах.

1. Определение члена ренты R при известных n и i по заданной начальной стоимости ренты S₀ или по заданной конечной стоимости ренты S_n .

Задачу определения члена ренты через её начальную стоимость (R = f(S₀, n, i)) можно охарактеризовать, как составление плана погашения текущего долга S₀ (амортизация современного долга). То есть ответ на вопрос, сколько необходимо регулярно (ежегодно) платить, чтобы погасить сегодняшний долг.

Задачу определения члена ренты через её конечную стоимость (R = f(S_n, n, i)) можно охарактеризовать, как составление плана погашения будущего долга S_n или формирования фонда возмещения долга. То есть ответ на вопрос, сколько необходимо регулярно (ежегодно) платить, чтобы накопить S_n .

2. Определение срока ренты n при известных R и i по заданной начальной стоимости ренты S₀ или по заданной конечной стоимости ренты S_n .

Задачу определения срока ренты через её начальную стоимость (n = f (S₀, R, i)) можно охарактеризовать, как вычисление срока погашения текущего долга S₀. То есть ответ на вопрос, сколько лет необходимо регулярно (ежегодно) платить, чтобы погасить сегодняшний долг.

Задачу определения срока ренты через её конечную стоимость (n = f (S_n, R, i)) можно охарактеризовать, как вычисление срока погашения будущего долга S_n. То есть ответ на вопрос, сколько лет необходимо регулярно (ежегодно) платить, чтобы накопить S_n.

3. Определение ставки процента i при известных R и n для выработки финансовых соглашений, договоров, оценки эффективности финансовых операций по заданной начальной стоимости ренты S₀ или по заданной конечной стоимости ренты S_n .

Член ренты R определяется из известных формул (4), (5).

Из формулы (5) следует

R = S_n i / [(1+i)ⁿ−1] = S_n (1/ F₃ (i,n)) = S_n (F₅(i,n)), (6)

где дополнительно F₅(i,n) = i /[(1+i)ⁿ–1] − табулированная функция (ввиду частого использования в финансовых расчетах) имеющая экономический смысл, как фонд накопления одной денежной единицы (см. табл.5 в приложении).

Пример 10. Определить размер равных взносов в конце года, для создания фонда в размере 1 млн. руб. за 5 лет при 8% годовых.

Решение. R = S_n i / [(1+i) ⁿ −1] = S_n (1/ F₃ (i, n)) = S_n(F₅ (i, n)) = 1000000∙0,08/[(1+0.08)⁵−1] = 1000000(1/5,867) = 1000000∙0,1705 = 170456 руб.

Из формулы (4) следует

R = S₀ i / [1− (1+i)^{– n}] = S₀ (1/ F₄ (i, n)) = S _n (F₆ (i, n)), (7)

где дополнительно F₆(i, n) = i /[1− (1+i)^{– n}] − табулированная функция (ввиду частого использования в финансовых расчетах) имеющая экономический смысл, как взнос на амортизацию одной денежной единицы (см. табл.6 в приложении).

Пример 11. Определить размер равных взносов в конце года, для погашения долга в размере 1 млн. руб. за 5 лет при 8% годовых.

Решение. R = S₀ i / [1− (1+i)^{– n} ] = S₀ (1/ F₄ (i, n)) = S_n (F₆ (i, n)) =

1000000∙0,08 / [1− (1+0.08) ^{– 5} ] = 1000000 (1/3,993) = 1000000∙0,2505 = 250456 руб.

Срок ренты n определяется из тех же формул (4), (5).

Из формулы (5) следует, если заданы R, i , тогда для определения n по конечной стоимости ренты имеем уравнение S_n= R[(1+i)ⁿ −1]/i, причем последняя величина известна, значит

n = ln [((S_n/R) i) +1]/ ln(1+i). (8)

Из формулы (4) следует, если заданы R, i , тогда для определения n по начальной стоимости ренты имеем уравнение S₀ = R[1− (1+i)^{– n}]/i, причем последняя величина i известна, значит

n = [ln((1− (S₀/R)i))^{– 1}]/ ln(1+i). (9)

Если значение n не целое, то обычно n округляют в меньшую сторону или корректируют рентный платеж или добавляют остаток к начальной или конечной стоимости ренты.

Можно обойтись и без нахождения n по указанной громоздкой формуле, а воспользоваться таблицами коэффициентов приведения ренты F₃(i, n) и F₄(i, n) (см. приложение).

Пример 12. Семья хочет накопить 12000 долл. на машину, вкладывая ежегодно 1000 долл. Годовая ставка 7%. Как долго придется копить?

Решение. n = ln [((S_n/R) i)+1]/ ln(1+i) = ln [((12000/1000) 0,07) +1]/ ln(1+0,07) = 0,60976/ 0,06766 = 9,01 лет. По таблице F₃ (7, 9) = 11,978 ≈ 12,0.

Пример 13. Семья купила машину в кредит за 12000 долл. и будет выплачивать ежегодно 1000 долл. Годовая ставка 7%. Как долго придется расплачиваться?

Решение.n = [ln((1−(S₀/R)i))^–1]/ ln(1+i) = [ln((1−(12000/1000)0,07))^–1]/ ln(1+0,07) = 27,09 лет. По таблице F₄ (7, 27) = 11,986 ≈ 12,0.

Пример 14. Сумма единовременных инвестиций за счет заёмных средств равна 10 млн. долл. Предполагаемая отдача R = 1,0 млн. долл. ежегодно. Годовая ставка 6 %. Определить срок окупаемости инвестиций?

Решение. n =[ln((1−(S₀/R)i))^–1]/ ln(1+i) = [ln((1−(10000/1000)0,06))^–1]/ ln(1+0,06) = 15,72 лет. По таблице F₄ (6, 15) = 9,712249 ≈ 10,0.

А что будет при ставке 10% годовых?

Заметим, что величина [(1+i)ⁿ −1]/i равна примерно n при малых i и затем уменьшается при росте i ведь эта величина есть сумма [1/(1+i) + 1/(1+i)² + … + 1/(1+i)ⁿ], отсюда вытекает, что нужной ставки i не существует. S₀ R = 100000∙0,01 = 1000. Если же S₀/R < n, то из указанного следует, что нужная ставка найдется и её можно найти интеративнывным путём.

Вечная рента не такой уж теоретический случай именно по этой формуле оценивается акция, стоимость ренты по бессрочным государственным облигациям, пенсионные фонды долгосрочно отвечают по своим обязательствам, а также можно оценить стоимость предприятия.

Пример 15. Бизнесмен арендовал виллу за 10000 долл. в год (бессрочно). Какова выкупная сумма, цена аренды при ставке 5% годовых.

Решение. S₀ = R/i = 10000/0,05 = 200000долл.

Определение процентной ставки более сложная задача, которая решается приближенно, подбором.

При известных S₀, R и n, надо подобрать процентную ставку i для удовлетворения уравнения S₀= R[1− (1+i)^{– n}]/ i.

Пример 16. За 7 лет фирме надо создать фонд в 1 млн. руб. Для этого ежегодно выделяется 100 тыс. руб. Какова должна быть ставка, чтобы обеспечить создание фонда?

Решение. Смотрим таблицу F₃ (i, 7) для S _n/R = F₃ (i, 7) = 10.

F₃ (0,11; 7) = 9,783274, а F₃ (0,12; 7) = 10,089012.

Тогда i ≈ 0,11+ [(10 − 9,783274)/(10,089012 − 9,783274)](0,12 − 0,11) = 0,11709. Проверка: F₃ (0,11709; 7) = (1,11709⁷ – 1) / 0,11709 = 9,9990, что очень близко к 10.

Пример 17. Фирма реализует проект за 7лет. Первоначальные инвестиции составляют 1 млн. руб. Ежегодные поступления от проекта ожидаются в размере 100 тыс. руб.

Какова должна быть ставка процента, для реализации этого проекта?

Решение. F₄ (i, 7) = [1− (1+i)^–7 ]/ i) = 10.

Отсюда следует, что процентной ставки не существует, так как S₀/R = 10 > 7. При i =0, F₄ (i; 7) = 7.