17.4 Прямая однократная засечка

Прямая угловая засечка заключается в определении координат исходного пункта по измеренных двух исходных пунктах горизонтальным углом ₁ и ₂.

Общее решения прямой угловой (азимутальной) засечки основано на отыскании точки пересечения линий визирования АР и ВР. Вычислив дирекционные углы α_АР и α_ВР, координаты определяемого пункта вычисляют по формуле Гаусса:

Контроль: Y_Р = Y_В + (Х_Р - Х_В) tg α_BP.

Рисунок 17.3 – Схемы прямой однократной угловой засечки

Если один из дирекционных углов _АР или _BP близок к 90⁰ или 270⁰, то применяют формулы:

Контроль: Х_Р = Х_В + (Y_Р-Y_В) ctg α_BP.

Если углы ₁ и ₂ измерены в одном треугольнике, то применяют формулы Юнга:

.

Средняя квадратическая. погрешность определяет положения пункта Р вычисляется по формуле:

,

где b = S_AB – длина базиса в треугольнике АВР.

17.5. Дифференциальные формулы дирекционного угла

Рассматривая дирекционный угол как функцию координат двух точек линии:

установим связь между измерением угла _АВ и измерением координат Х_А, Y_А и Х_В, Y_В.

Рисунок 17.4 – Схемы связи

Продифференцируем формулу для вычисления , считая Х_А = const, Y_А = const)

Так как Х_В – Х_А = S cos, Y_В – Y_А = S sin , получаем:

Аналогично получим (Х_В = const, Y_В = const):

В общем случае:

Эти формулы называются дифференциальными формулами дирекционного угла. Принято обозначать:

Тогда:

17.6. Прямая многократная засечка.

При наличии избыточных исходных пунктов и избыточных измерений выполняют уравнение параметрическим способом. Приближенные координаты Х_Р и Y_Р вычисляют по формулам Гаусса или Юнга.

Рисунок 17.5 – Схема прямой многократной угловой засечки

Параметрическое уравнение поправок для измеренных углов имеет вид:

-a_i x – b_i y + l_i = v_i,

где

;

;

l_i = _i – (_i – _{i исх}).

Система нормальных уравнений имеет вид (измерения углов – равноточные):

[aa] x + [ab] y + [al] = 0

[ab] x + [bb] y + [bl] = 0

Отсюда:

Уравненные значения координат вычисляют по формулам:

.

Оценка точности результатов уравнивания производится по формулам:

где

Средняя квадратическая погрешность определения положения пункта Р вычисляется по формулам:

Следует отметить, что привязка полигонометрии прямой засечкой экономически невыгодна, т.к. приходится измерять углы на удаленных исходных пунктах. Прямая засечка применяется чаще при засечке боковых пунктов с пунктов полигонометрии одновременно с измерением углов поворота хода.

17.7 Обратная однократная засечка

Определение положения точки по трем исходным пунктам обратной угловой засечкой называется задачей Потенота. Существует несколько способов решения этой задачи.

17.7.1 Формула Деламбра используется для вычисления дирекционного угла линии Р-Т₁ (рис. 17.6):

.

Рисунок 17.6 – Схема обратной однократной засечки

Далее вычисляют дирекционные углы:

.

Координаты определяемой точки вычисляются по формулам Гаусса:

,

.

Заключительный контроль:

.

Полученное по этой формуле значение дирекционного угла является окончательным. Оно может отличаться от найденного по формуле Деламбра на 180⁰, т.к. в ней знаки числителя и знаменателя не определяют знаки и . В этом случае и также должны быть изменены на 180⁰.

17.7.2 Формулы И. Ю. Пранис-Праневича

Рисунок 17.7 – Схема наблюдений

.

Затем вычисляют с контролем величину N:

.

Координаты вычисляют по формулам:

,

где

.

Поскольку контроль вычисления координат точки Р отсутствует, то требуются наблюдения на 4-й исходный пункт.

17.7.3 Обобщенные формулы

Возможны два варианта обратной угловой засечки определяемого пункта:

по двум несмежным углам (рис. 17.8 а);

• по двум смежным углам (рис. 17.8 б).

а б

Рисунок 17.8 – Варианты обратной угловой засечки

Общее решение сводится к отысканию точек пересечения двух окружностей, вмещающих измеренные углы ₁ и ₂ (рис. 17.8 а), радиусы и координаты центров окружностей вычисляются по формулам:

В треугольнике О₁О₂Р находим:

,

.

Далее находим направления:

_I =  ± ₁,

_II=  ± 180⁰ ± ₂

и координаты:

Для разрешения неопределенности в выборе точки стояния целесообразно дополнительно измерить магнитный азимут на один из исходных пунктов. Это решение справедливо и для задачи Потенота, если принять, что исходные пункты 2 и 3 совпадают (рис. 17.8 б).

17.7.4 Точность обратной засечки

Средняя квадратическая погрешность определения положения искомого пункта вычисляется по формулам: