30. Линейные и Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида
(
+
(
+
(
=
z(
(8.1)
Это
уравнение линейное относительно
производной но может быть изменено
относительно не известнойz. Если
правая часть
0
а коэффициент
не
зависит от z,
то уравнение (8.1) называется линейно
однородным Рассмотрим более подробно
квазилинейные уравнения с 2-умя
независимыми переменными P
(x,
y,
z)
+ Q
(x,
y,
z)
= R
(x,
y,
z)
(8.1a)
Функцию
P,
Q,
R
будем считать не прерывной в
рассматриваемой области изменённой
переменой и не обращающейся в ноль
одновременно Рассмотрим непрерывное
поле
:
=
P
(x,
y,
z)
+ Q
(x,
y,
z)
1
+ n
(x,
y,
x)
Векторные
линии поля , то есть линии, касательно
которых в каждой точке имеют
направления 
=
dx
+
dy
+
dz
,
-
=
Поверхность
целиком содержащая векторные линии,
или хотя бы одну общую точку с поверхностью
называется векторной поверхностью Векторные
поверхности характерны тем, что вектор
направлен по нормали к поверхности.В
точке поверхность ортогональна полю
,
то есть : (
*
)
=0 (8.2)
Если
векторная поверхность 
+
-
и условие (8.2) принимает вид:
P (x, y, z) * + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.3)
Если векторная поверхность задаётся:
U (x, y, z) = 0
+
-
И уравнение (8.2) приобретает вид :
P
(x,
y,
z)
*
+ Q
(x,
y,
z)
+ R
(x,
y,
z)
= (8.4)
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий
То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий
Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий :
- = (8.5)
из
2-ух параметрических семейств векторных
линий
Называется
характеристиками уравнения (8.3) или
(8.4) произвольным способом параметрического
семейства Устанавливая какую – нибудь
зависимость Ф (
)
= 0 тогда параллелограмм
и
Исключение
из системы :
Ф- произвольная функция (непрерывная) Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля
=
P
(x,
y,
z)
+ Q
(x,
y,
z)
+ R
(x,
y,
z)
А
поверхностный проход через заданную
линию определяется уравнением 
То функция (8.6) уже не будет произвольной , определяемая присутствием исключенийx, y, z из системы
(x, y, z) =
(x, y, z) =
Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0 , =0
Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :
Заметим,
что задание станет неопределяемым
если задание меньше
(x,
y,
z)
= 0
(x,
y,
z)
= 0 является характеристикой , т.к. в
этом случае эту линию можно включить
в различныеоднопараметрические
семейства характерные тем самым
получим различные интегралы появляющееся
через эту линию.