9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется линейное уравнение относительно неизвестной функции и её производной
Линейное
уравнение имеет вид
Где p(x) и f (x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями от x в той области в которой требуется проинтегрировать уравнение (2.4)
Если
f(x)
0 , то уравнение (2.4) называется линейным
однородным.
В
линейном однородном уравнение переменные
разделяются
;
Интегрируя получим :
ln
=
>
0
y
= C
, с≠0 (2.5)
При деление на y мы потеряли решение y=0. Однако его можно включить в общее решение (2.5), позволив C принимать значение С=0. При интегрирования неоднородного линейного уравнения (2.4) может быть применён метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа), который состоит в следующем
Интегрируя соответствующее однородное уравнение и его решение имеет вид (2.5);
потом
чтобы найти общее решение (2.4) , позволяем
константе C
быть функцией от x
, то есть решение имеет вид y
= C
(x)
Вычислим
производную
C
(x)
p(x)
*
и подставим в исходное неоднородное
уравнение (2.4)
*
-C
(x) p (x)
+
p(x) C (x)
= f(x)
C
(x) =
* dx
y
(x) =
*
* dx (2.6)
В конкретных случаях нецелесообразно пользоваться для запоминания формулой (2.6), а нужно проделывать вычисления по методу Лагранжа.
Многие дифференциальные уравнения могут быть сведены к линейным
10. Уравнение Бернули
Делают
замену Z
=
дифференцируя получим
(1
– n
)
и подставляя в (2.7) получим линейное
уравнение
+
p (x) z = f (x)
11. Уравнение Риккати
Математики доказали, что существует такие p,q,f, что нельзя свести задачу к решению неопределённых интегралов.
В
общем случае нельзя интегрировать в
квадратурах . Однако, если известно одно
частное решение
,
то уравнение Риккати можно свести к
уравнению Бернулли.
Для
этого положим y
=
.
В этом случае можно всегда найти решение.
+
p(x)
y1
+ p
(x)
z
+ q
(x)
* y12
+ q
(x)
* 2y1
z
+ q
(x)
z2
= f
(x)
+
p(x) z + 2q (x)
z +q(x)
=
0
+z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0
n=2 Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах
dU = 0
U = C
U (x ,y) = C
Может быть , что левая часть уравнения :
M (x ,y) dx + N(x , y ) dy = 0 (2.8)
является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y)
dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x , y) dy =>уравнение (2.8) принимает вид dU (x , y) = 0
Если функция y(x) является решением уравнения (2.8) тогда dU (x, y(x)) 0 сл-но
U (x, y(x))= c (2.9)
C= const
И наоборот, если некоторая функция y(x) обращается в тождество конечное уравнение (2.9) , то дифференцируя это тождество получим:
dU (x, y (x)) = 0, значит U (x, y) = C является общим интегралом исходного уравнения.
Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) необходимо и достаточно условие Эйлера
(2.10)
dU(х,у)=
Если условие Эйлера выполняется, то уравнение (2.8) легко интегрировать
dU = Mdx + Ndy
dU=
При вычиcлении интеграла величина у рассматривается как const , поэтому c(y) является произвольной функцией y. Для определения функции C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y и так как , получим : (
В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (2.8) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию после умножения на которую левая часть уравнения (2,8) превращается в полный дифференциал, то есть dU = Mdx + Ndy и в этом уравнение эти функции удовлетворяют условию Эйлера.
Такая функция µ называется интегрируемым множеством. Заметим, что умножение может привести к появлению посторонних решений, обращающих µ(x, y) в 0
В общем случае не всегда так легко удаётся найти интегрир. множитель.
Вообще, надо подобрать хотя бы одно ненулевое решение уравнения:
(2.11)
Вообще задача интегрирования (2.11) ничуть не проще задачи интегрирования (2.10)
Однако, если мы можем считать µ функцией только одной переменной будь то x, y, х2+у2 и т.д., то задача существенно упрощается .
Например, найдём условие, когда µ можно найти как функцию от х
; считаем это выражение непрерывной функцией х.
Проинтегрируем и получим
Ln µ =
M= C * (2.12)
Можно считать c=1, так как нам нужен хотя бы один интегрирующий множитель
Если является функцией только x, то интегрирующий множитель найдется по формуле(2.12)
Аналогично можно выписать условие при которых интегрирующий множитель зависит от другой выбранной переменной.