2. Задача Коши. Существование и единственность решения.
Задача Коши, x0, y0 - начальные данные:
Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем x0, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).
однородным уравнением.
//*Теорема существования и единственности для ДУ n-го порядка и системы ДУ *//
Теорема 3.5 Существует единственное решения ДУ n-го порядка
=
f (x, y, y’, y’’ …
удовлетворяющее
условию: y
(
)
=
,
y’
(
)
=
’,
=
‘’, …
(
)
=
Если в окрестности нач. знач. ( , , ’, … , )
Функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начиная со второго.
Теорема 3.6 Существование и единственности решения системы:
(3.9)
Предположим, что в области D , определённой неравенствами:
– a
x
+ a i = (1, 2…
)
–
правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условиям:
Все
ф-ции
(x,
)-
непрерывны и ограничены. i=
(1, 2, … , n)
│
│
M
Все ф-ции (x, ) удовлетворяет условию Липшица
3. Простейшие оду первого порядка, разрешенные относительно производной.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешив относительно производной представить в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:
=
f(х)
В этом случае:
y=
Содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно начальное значение:
y( ) =
Тогда
y=
+
Вообще, при некоторых ограничениях на функцию f(x,y), уравнение = f (x, y)
также имеет единственное решение удовлетворяющее условию y ( ) = , а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной .
4. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида:
(y)
dy=
(x)
dx
(2.1)
Называется уравнением с разделёнными переменными
Функции
(x)
и
(y)
будем считать непрерывными. Если
y–решение,
то после подстановки его в (2.1) и
интегрирования получим:
(2.2)
Уравнение (2.2)и (2.1) равносильны.
Может
получиться так, что интегралы
нельзя выразить в элементарных функциях.
Однако, в этом случаи мы будем считать
задачу интегрирования дифференциального
уравнения (2.1) выполненной, поскольку
мы свели её к нахождению неопределенных
интегралов или квадратур.
Если
надо выделить частное решение,
удовлетворяющее условию y
(
,
то оно очевидно определяется из уравнения
=
которое мы получаем из
= + С воспользовавшись начальными условиями:y = (
Уравнение
вида
в которых коэффициенты при
дифференцировании распадаются на
множители зависящие только от x
и от y,
называется дифференциальными уравнениями
с разделёнными переменными и после
деления на
приводится к уравнению с разделенными
переменными
dx
=
dy
При
деление на
(y)
*
(x)
могут потеряться частные решения,
обращающие в нуль произведение
(y)
*
(x)
Пункт 2.3. Уравнение, приводящиеся к уравнениям с разделенными переменными
Некоторое уравнение путем подходящей замены переменных, можно привести к уравнению с разделенными переменными.
,
где а и b
–постоянные числа, которые заменой z
= ax
+ by
приводят к уравнению с разделенными
переменными.
f
(z)
=
dx x =
+ C
Пример = 2k + y
z=
2x
+ y 
=
2 + z
= dx
Ln
(z + 2) = x + C z = - 2 +
2
x + y = -z +
y
= -2 -2x +
К
уравнениям с разделёнными переменными
приводятся и однородные дифференциальные
уравнения 1-го порядка, имеющие вид
=
f
(
) z
=
y
= x
z
Интегрируем
x
=
Напомним,
что функция Ф(x,
y)
называется однородной степени k, если
выполняется следующее неравенство Ф
(tx , ty ) =
Ф
(x
, y)
Правая часть однородного уравнения является однородной функцией х и у нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида M (x, y) dx + N (x ,y) dy = 0 будет однородным, если M(x , y) и N (x , y) является однородными функциями x , y одинаковой степени однородности, то есть в этом случае
5.
Уравнение вида
преобразуется в однородное уравнение
путем переноса из начала координат в
точку пересечения с координатами (
)
прямых
Действительно в новых координатах
x
= x
-
y
= y
-
Свободный
член в уравнениях этих прямых будет
равен 0, коэффициенты при текущих
координатах остаются неизменными, а
производная
и уравнение (2.3) преобразуется к виду
)
или
)
=
(
является однородным уравнением
Этот
метод не применим, только если прямые
x
+
y
+
= 0
x
+
y
+
= 0 параллельны, но в этом случае
=
к
=
k
и уравнение (2.3) может быть записано в
виде
f
(
которое, как и ранее с заменой
z=
,
преобразованное уравнение с разделёнными
переменными
6. Однородное уравнение.
(1)
Функция М(x,y)
называется однородной функцией
относительно своих аргументов, если
выполняется равенство M(tx,ty)=tmM(x,y).
Показатель m
называется измерением или степенью
однородности.
(2) ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy=0 называется однородным, если функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одинаковой степени однородности.
(3)
Уравнение
является однородным, если функция
– однородная функция 0 степени измерения,
т.е.
.
(4)
ДУ называется однородным, если его можно
представить в виде
.
Замечание:
Однородные ДУ сводятся к ДУ с разделяющимися
переменными с помощью подстановки:
Пример:
1) x = 0
2)
U=lnx + ln C