Завдання дс. Динаміка механічної системи

Дослідження динаміки руху системи матеріальних точок проводяться комплексно, шляхом використання різних методів для визначення основних характеристик руху конкретної механічної системи абсолютно твердих тіл під дією постійних сил ваги.

Такий підхід дозволяє, крім тривіального надання навиків використання теорії для практичних розрахунків та їх закріплення, розв’язати також дуже важливу проблему аналізу одержаних різними методами результатів розв'язку однієї задачі динаміки. Це дає можливість порівняти різні шляхи розв'язання однієї задачі і перевірити правильність отриманих результатів.

Умови задач завдань дс

Механічна система (механізм), яка складена з декількох абсолютно твердих тіл, починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в'язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити в мить часу, коли тіло А пройде шлях S, величини які вказані в завданнях ДС.

Схема механічної системи показана на рис. 3.1.

В завданнях прийняті слідуючи позначення: m_A, m_B, m_Б, m_Д - маси тіл А, В, Б, Д; R_в=2r_в, R_Д=1,5r_Д - радіуси великих і малих кіл; і_вх, і_дх - радіуси інерції тіл В і Д, відносно горизонтальних осей, що проходять через їх центри мас, a, b - кути нахилу площин до горизонту; m - коефіцієнт тертя тіла А.

Необхідні дані наведені в таблиці 3.1.

Задачі завдання дс

Задача ДС1.

Знайти швидкість тіла А даної механічної системи за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії.

Необхідно знати:

1. Теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи.

2. Формули, за якими визначається кінетична енергія при поступальному, обертальному і плоскому рухах твердого тіла.

3. Формули, за якими визначається робота постійної сили, змінної сили, сили тертя, сили тяжіння, моменту сили.

Необхідно вміти:

1. Визначати рухи твердого тіла.

2. Виконувати кінематичний розрахунок системи: за заданою швидкістю (прискоренням, переміщенням) даного тіла визначити швидкість (прискорення, переміщення) всіх об'єктів та точок, що складають систему твердих тіл.

3. Вираховувати кінетичну енергію конкретних твердих тіл, які складають механічну систему, в залежності від їх руху.

4. Вираховувати роботу конкретних сил, прикладених до тіл механічної системи.

Приклад виконання завдання

Задача. Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл (рис 3.3), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити швидкість тіла А системи в залежності від шляху S.

Дано:

; ; ; ;

S=6м; k=0,2.

Знайти V_A(S).

Розв’язання. За умовою задачі вихідна механічна система (рис.3.3) складається з абсолютно твердих тіл і якщо силу тертя вважати заданою, а інші в’язі ідеальними, то маємо що , а , де - сума робіт зовнішніх сил, включаючи силу тертя. Крім того, в початковому положенні система нерухома і тому . Звідси випливає, що для даної системи теорема про зміну кінематичної енергії в інтегральній формі приймає вигляд:

. (а)

Рис. 3.1

Отже, надалі, згідно з формулою (а), треба визначити кінетичну енергію в кінцевому положенні системи і роботу зовнішніх сил при переході системи з початкового в кінцеве положення. Підставляючи одержані дані в (а) знайдемо . Але перед тим як це зробити треба всі змінні величини виразити через задану і шукану величини тобто через і S. Для цього проведемо відповідний попередній кінематичний розрахунок.

Перед усім виразимо швидкості усіх точок системи через швидкість тіла А, яке рухається поступально.

Лінійна швидкість точки L барабана В, що обертається навколо нерухомої осі, .

Звідси кутова швидкість блока В: і . Але нитка КС не розтягується і тому .

Миттєвий центр швидкостей катка Д знаходиться в точці його дотику до площини.

.

Що стосується до переміщень, то відношення між ними завжди такі, які між швидкостями і тому у даному випадку після того як всі змінні величини виражені через і S визначимо ліву і праву частини рівняння (а).

Почнемо з визначення кінематичної енергії системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі енергій всіх тіл, що складають дану систему:

. (б)

Знайдемо кінетичні енергії кожного з тіл окремо.

1). Тіло А здійснює поступальний рух і тому його кінетична енергія

.

2). Барабан В обертається навколо нерухомої осі і тому ,

де - момент інерції барабана відносно осі обертання . ,

де - радіус інерції. Отже .

3). Кінетична енергія циліндра Д, що здійснює плоскопаралельний рух: де - момент інерції однорідного суцільного циліндра відносно його центральної осі .

Підставляючи задані маси тіл і визначені з кінематичного розрахунку значення швидкостей і в (б) одержимо значення кінетичної енергії системи через швидкість : , (в).

Тепер обчислимо праву частину формули (а). Прикладемо всі зовнішні сили до тіл системи (рис.3.3) і знайдемо суму робіт цих сил на заданому переміщені S:

.

До тіла А прикладені зовнішні сили ваги і тертя, тобто , де , До тіла Д прикладена зовнішня сила ваги : .

Інші сили, прикладені до системи, роботи не здійснюють і тому . Отже . Звідси, враховуючи, що , дістанемо

. (г)

Підставимо (в) і (г) до (а) і одержимо що 1,525m , звідки . При S=6м маємо .

Відповідь: швидкість тіла А в залежності від шляху S виражається формулою (м/с).

Таблиця 3.1

№ схеми, варіанта	mA	mB	mД			mБ	RB			RД	ІВХ		ІДХ								S		
	Кілограми							Метри									градуси					м
0 1 2	M M m	2m M 1,5m		0,15m 0,25m 0,75m	4m 6m 8m			0,5 0,4 0,5	0,3 0,2 0,2			0,18 0,15 0,17		0,10 0,12 0,16		30 60 60		60 30 30		4,0 3,0 2б0				0,20 0,30 0,10
3 4 5	M M m	0,5m M 2m		0,10m 0,25m 0,20m	10m 5m 4m			0,4 0,6 0,5	0,4 0,3 0,5			0,16 0,14 0,15		0,15 0,10 0,13		45 60 30		45 30 60		2,5 3,0 4,0				- 0,30 0,20
6 7 8	M M m	0,5m 1,5m 0,75m		0,30m 0,40m 0,10m	Зm 6m 7m			0,6 0,3 0,4	0,3 0,4 0,3			0,20 0,18 0,16		0,14 0,15 0,12		45 30 60		45 60 30		2,5 4,5 2,0				0,15 0,12 0,14
9	m	2,5m		0,20m	8m			0,6	0,4			0,12		0,15		45		45		2,5				0,25

Рисунок 3.1