Приложение 4

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей основан на замене непрерывного теплового процесса, описываемого дифференциальным уравнением теплопроводности, скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При создании такой модели дифференциальное уравнение Фурье для одномерного пространства по оси ординат примет вид

(19)

Начальным условием является равенство температур по всему объему в начальный момент времени ( = 0).

Граничными условиями применения данного метода являются:

– физические свойства нагреваемого или охлаждаемого тела постоянны (а= const);

– величина функциональной зависимости условий толщины расчетного слоя х в теле и интервал времени  определения температуры постоянны:

2а /х² = 1; (20)

– толщина расчетного слоя должна быть постоянной (х = const);

– тело рассматривается как однородная стенка.

Температурное поле слоя n в момент времени  ± 1 описывается уравнением

t_{n, +1} = 0,5(t_{n+1, } + t_{n-1, }). (21)

Из этого уравнения следует, что температура в данном сечении пластины в рассматриваемый момент времени равна полусумме температур соседних сечений в предыдущий момент времени.

Графически температура любого слоя определяется точкой пересечения прямой, соединяющей температурные точки примыкающих слоев в предыдущий момент времени с линией середины данного слоя.

Порядок графического расчета следующий:

1. Построить систему координат, в которой по оси абсцисс – отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту теплоотдачи, по оси ординат – температура среды;

2. Отложить в принятом масштабе толщину изделий и построить линию начальной температуры бетона;

3. Выбрать значение толщины расчетного слоя, удобное для графического построения;

4. Найти величину интервала времени определения температуры

 = х²/2а . (22)

5. Рассчитать и нанести на график положение направляющей точки;

6. Произвести графическое построение и определить распределение температуры в изделии для заданного момента времени.

Наиболее часто метод конечных разностей используется для туннельных печей при определении потерь тепла с печными вагонетками. Порядок расчета по этому методу следующий.

Принимая предположительно среднюю толщину огнеупорного и изоляционного слоя футеровки вагонетки и пользуясь данными табл. 11, вычисляют коэффициенты температуропроводности обоих слоев:

а_ш=_ш/(с_ш_ш), (23)

а_и=_и/(с_и_и). (24)

Огнеупорный (шамотный) слой футеровки разбивают на два слоя толщиной каждого х, м

х = _ш/2 . (25)

Определяют расчетный промежуток времени

 = х²/2а_ш . (26)

Таблица 11

Температура, оС	Коэффициент теплопроводности материала, Вт/м·град
	шамот	кирпич керами- ческий	изоляционный кирпич плотностью, кг/м3
			700	800	900	1000	1100	1200
0	0,6	0,41	0,17	0,19	0,21	0,23	0,25	0,27
100	0,67	0,46	0,19	0,21	0,23	0,25	0,27	0,29
200	0,72	0,50	0,21	0,23	0,25	0,27	0,29	0,31
300	0,79	0,54	0,23	0,25	0,27	0,29	0,31	0,33
400	0,82	0,58	0,25	0,25	0,29	0,31	0,33	0,35
500	0,78	0,62	0,27	0,29	0,31	0,33	0,35	0,37
600	0,93	0,67	0,29	0,31	0,33	0,35	0,37	0,39
700	0,99	0,71	0,31	0,33	0,35	0,37	0,39	0,41
800	1,05	0,76	0,33	0,35	0,37	0,39	0,41	0,43
900	1,10	0,80	0,35	0,37	0,39	0,41	0,43	0,45
1000	1,15	0,84	-	-	-	-	-	-
1100	1,21	0,89	-	-	-	-	-	-
1200	1,26	0,92	-	-	-	-	-	-
1300	1,31	-	-	-	-	-	-	-
1400	1,36	-	-	-	-	-	-	-

Определяют толщину слоя, эквивалентного (по шамоту) слою тепловой изоляции

_экв = _и _ш/_и . (27)

Определяют расчетную эквивалентную толщину изоляционного слоя

х_экв = х _ш/_и . (28)

Определяют количество расчетных эквивалентных слоев, которое равно _экв/х_экв. Начальную температуру по всему сечению вагонетки принимают равной 20^оС.

Расчет удобно выполнять, заполняя таблицу по форме табл. 12.

Таблица 12

Время, час	Температура рабочей поверхности футеровки, о С	Температура на границах слоев				Температура низа вагонетки, о С	Зона печи
		1-2	2-3	3-4	4-5
1	2	3	4	5	6	7	8

В колонку 1 время записывается нарастающим итогом с интервалом .

Температура рабочей поверхности (колонка 2) принимается равной температуре печной среды в данный момент времени и принимается по температурному режиму обжига.

Температуры в колонках 3, 4, 5 и 6 определяются исходя из правила, что температура в данном сечении слоя в данный момент времени равна полусумме температур соседних сечений в предыдущий момент времени.

Температура нижней поверхности вагонетки с момента, когда она начинает расти, определяется по формуле

(29)

где при принятой схеме расчета _экв = _ш ,

 – коэффициент теплоотдачи от нижней поверхности вагонетки к воздуху.