Задачи по модулю 5

1. Найти точки пересечения многогранника с прямой линией (рис. 62, а,б).

а) б)

Рисунок 62

2*. Пересечь многогранник плоскостью Р и дать полную развертку одной из его частей (рис. 63-65).

а) б)

Рисунок 63

а) б)

Рисунок 64

а) б)

Рисунок 65

Модуль 6. Поверхности Вопросы для самопроверки

1) Что такое поверхность?

2) Что такое образующая (или производящая) линия поверхности?

3) Что такое направляющая линия?

4) В чём разница между линейчатой и нелинейчатой поверхностями?

5) Как образуются цилиндрическая и коническая поверхности?

6) Что называется поверхностью вращения?

7) Что называется параллелями и меридианами на поверхности вращения, экватором, горлом, главным меридианом?

8) В чём заключается общий приём построения кривой линии, получающейся при пересечении цилиндрической и конической поверхностей плоскостью?

9) Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостью?

10) Какие линии получаются при пересечении конуса вращения плоскостью?

11) В чём суть способа параллельно-секущих плоскостей? В каких случаях применяются вспомогательные секущие плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, для построения линии взаимного пересечения поверхностей?

12) В чём суть способа секущих сфер? Условия применимости способа концентрических сфер к построению взаимного пересечения поверхностей.

Примеры решения задач

Пример 44

Задать на поверхности наклонного цилиндра произвольную точку А (рис. 66, а).

Решение. Задаем произвольную точку (M₁, M₂) на основании цилиндра и проводим через нее вспомогательную образующую. На этой образующей берем точку (A₁, A₂), которая и лежит на заданной поверхности.

а) б)

Рисунок 66

Пример 45

Найти фронтальную, проекцию точки А, лежащей на поверхности наклонного цилиндра, если дана ее горизонтальная проекция (рис. 66, б).

Решение. Проводим через точку A горизонтальную проекцию (A₁M₁) вспомогательной образующей. Находим фронтальную проекцию (M₂) точки М и проводим через нее фронтальную проекцию образующей; затем на ней по точке А₁ с помощью линий связи находим точку А₂.

Пример 46

Задать на поверхности конуса произвольную точку А.

Решение. Первый способ (рис. 67, а). Задаем произвольную точку (М₁, М₂) на основании конуса и проводим вспомогательную образующую через точки (М₁, М₂) и (S₁, S₂). На этой образующей берем точку (A₁, A₂), которая и лежит на заданной поверхности.

Второй способ (рис. 67, б). Проводим на поверхности конуса вспомогательную окружность; ее фронтальная проекция является прямой линией, параллельной оси проекций, а ее горизонтальная проекция — окружностью. На этой окружности берем точку (A₁, A₂), которая и лежит на заданной поверхности.

а) б)

Рисунок 67

Пример 47

Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью цилиндра (рис. 68).

Решение. Проводим через ось цилиндра горизонтально-проецирующую плоскость R, перпендикулярную к плоскости Р; плоскость R пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость Р — по прямой (H₁V₁, H₂V₂); на их пересечении получаем низшую точку (N₁, N₂) и высшую точку (M₁, M₂) лилии пересечения. Проводим через ось цилиндра плоскость R' параллельную фронтальной плоскости проекций; плоскость R' пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим, а плоскость Р — по фронтали; на их пересечении получаем точки (А₁, А₂) и (В₁, В₂) линии пересечения.

Находим точки пересечения профильных образующих цилиндра с плоскостью Р. Горизонтальные проекции (С₁) и (D₁) этих точек известны (почему?); по ним, пользуясь горизонталями, находим фронтальные проекции (C₂) и (C₂). Аналогично находим точки пересечения еще нескольких образующих цилиндра с плоскостью. Соединив последовательно фронтальные проекции всех найденных точек, получаем фронтальную проекцию линии пересечения - эллипс. Истинную величину эллипса можно построить по главным осям; большая ось равна длине отрезка (M₁N₁, M₂N₂), а малая ось — диаметру цилиндра.

Рисунок 68

Пример 48

Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью конуса (рис. 69).

Решение. Плоскость Р пересекает поверхность конуса по эллипсу, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным следом (Р₂) плоскости. Горизонтальную проекцию эллипса строим по точкам: задаем фронтальные проекции ряда его точек и находим их горизонтальные проекции. Затем через горизонтальные проекции точек проводим плавную кривую-эллипс.

Горизонтальную проекцию линии пересечения, как эллипс, можно построить также по главным осям: по большой оси АВ и по малой оси CD. Истинную величину эллипса можно построить по двум его главным осям: по большой оси A₂B₂ и по малой оси C₁D₁, которую находим по фронтальной проекции (C₂D₂).

Рисунок 69

Пример 49

Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью шара (рис. 70).

Решение. Плоскость Р пересекает поверхность шара по окружности, горизонтальная проекция (С₁D₁) которой совпадает с горизонтальным следом (Р.) плоскости. Фронтальную проекцию окружности - эллипс строим по главным его осям: большой осью является фронтальная проекция (А₂В₂ ) диаметра, расположенного перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, а малой осью – фронтальная проекция (С₂D₂) диаметра, расположенного параллельно горизонтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию окружности можно построить также по точкам; задаем горизонтальные проекции ряда точек окружности и находим их фронтальные проекции. Затем полученные точки соединяем плавной кривой – эллипсом.

Рисунок 70

Для того чтобы отделить на горизонтальной проекции кривой видимую ее часть от невидимой, находим фронтальной проекции (М₂) и (N₂) ее точек, расположенных на главном меридиане.

Пример 50

Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью конуса. (рис. 71).

Рисунок 71

Решение. Проводим через ось конуса горизонтально-проецирующую плоскость R, перпендикулярную к плоскости Р. Плоскость R пересекает поверхность конуса по образующим, а плоскость Р — по прямой (H₁V₁, H₂V₂); на их пересечении получаем низшую точку (N₁, N₂) и высшую точку (M₁, M₂) линии пересечения. Проводим через ось конуса плоскость G параллельную плоскости V; плоскость G пересекает поверхность конуса по крайним образующим, а плоскость Р — по фронтали; на их пересечении получаем еще две точки (А₁, А₂) и (В₁, В₂) линии пересечения.

Для того чтобы найти точки линии пересечения, лежащие на профильных образующих, заменяем фронтальную плоскость проекций новой (П₄), где плоскость Р — фронтально-проецирующая, и находим точки (С₁, С₄) и (D₁, D₄) пересечения этих образующих с плоскостью P. Затем находим точки (С₁, С₂) и (D₁, D₂).

Для того чтобы найти промежуточные точки линии пересечения, поступаем так: вводим между точками (N₁, N₂) и (M₁, M₂) вспомогательную плоскость Q, параллель­ную плоскости П₁; плоскость Q пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость Р — по горизонтали; на их пересечении получаем две точки (K₁, K₂) и (L₁, L₂). Аналогично находим еще несколько точек и затем через одноименные проекции найденных точек проводим плавные кривые — эллипсы.

Пример 51

Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью шара.

Решение. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость R, перпендикулярную к плоскости Р; плоскость R пересекает поверхность шара по окружности, а плоскость Р — по прямой (H₁V₁, H₂V₂); на их пересечении получаем низшую точку (N₁,N₂) и высшую точку (M₁, M₂) линии пересечения (рис. 72). Для того чтобы не строить эллипса на фронтальной плоскости проекций, совмещаем плоскость R с горизонтальной плоскостью проекций и находим предварительно эти точки в совмещенном положении (см. рис. 72).

Рисунок 72

Для того чтобы найти промежуточные точки линии пересечения, проводим между точками (N₁,N₂) и (M₁, M₂) ряд вспомогательных плоскостей, параллельных горизонтальной плоскости проекций. Например, плоскость Q пере­секает поверхность шара по окружности, а плоскость Р — по горизонтали; на их пересечении получаем две точки: (1₁, 1₂) и (2₁, 2₂).

Для того чтобы на фронтальной проекции кривой отделить видимую ее часть от невидимой, проводим через центр шара плоскость G (G₁) параллельную фронтальной плоскости проекций; плоскость G пересекает поверхность шара по главному меридиану, а плоскость Р — по фронтали. На их пересечении получаем точки (A₁, A₂) и (B₁,B₂) . Для того чтобы на горизонтальной проекции кривой отделить видимую ее часть от невидимой, проводим через центр шара плоскость, параллельную горизонтальной плоскости проекций; плоскость S пересекает поверхность шара по экватору, а плоскость Р — по горизонтали. На их пересечении получаем точки (3₁, 3₂) и (4₁, 4₂). Затем одноименные проекции всех найденных точек соединяем плавными кривыми — эллипсами.

Пример 52

Построить линии пересечения конуса тремя плоскостями P, G, T"', образующими сквозное отверстие.

Рисунок 73

Решение: 1) Плоскости T', T" и T"' являются горизонтальными плоскостями уровня (параллельные П₁), при пересечении с конусом они образуют линии, которые на горизонтальную плоскость проецируются в виде окружности (рис. 73). Вначале строятся фронтальные проекции точек, которые так же лежат на фронтально-проецирующей плоскости G. Далее они проецируются на горизонтальную плоскость на соответствующие окружности на горизонтальной плоскости проекций..

2) Плоскость Р пересекает конус по образующей, которая на горизонтальной плоскости представлена в виде прямой, проходящей через вершину конуса.

3) Соединив полученные точки, получаем линию, образующую сквозное отверстие.

Рисунок 74

Пример 53

Построить линии пересечения сферы с плоскостью общего положения , заданную двумя пересекающимися прямыми l и m (рис. 74).

Решение: Окружность сечения проецируется на плоскости проекций в эллипсы. Задача решена (рис. 74) путем замены системы плоскостей П2/П1 системой П4/П1, в которой плоскость является проецирующей (₄).

Пример 54

Провести через прямую АВ плоскость, пересекающую поверхность наклонного цилиндра по образующим, и найти эти образующие (рис.75).

Рисунок 75

Решение. Задаем на прямой АВ произвольную точку K и проведем через нее прямую КL параллельную оси цилиндра. Прямые AB и KL определяют искомую плоскость. Находим горизонтальные следы (H₁, H₂) и (H'₁, H'₂) этих прямых и проводим через точки H₁ и H'₁ горизонтальный след (Р₁) плоскости; на его пересечении с основанием цилиндра получаем точки (N₁, N₁) и (M₁, M₂), через которые проводим искомые образующие.

Примечание. В частном случае (когда?) горизонтальный след (Р₁) плоскости может касаться основания цилиндра, тогда эта плоскость является касательной к поверхности цилиндра.

Рисунок 76

Пример 55

Найти линию пересечения цилиндра с конусом с помощью сфер (рис. 76).

Решение. Принимаем точку (С₁, С₂) пересечения осей цилиндра и конуса за центр вспомогательных шаровых поверхностей. Описываем из точки (С₁, С₂) шар произвольного радиуса R, который (шар) пересекает каждую из данных поверхностей по окружности; вертикальные их проекции—прямые линии, а горизонтальные проекции- эллипсы (последние для решения задачи не нужны и потому их не строим). На пересечении этих прямых линий получаем вертикальные проекции (1₂) и (2₂) точек; по ним, пользуясь вспомогательными образующими (или окружностями), находим горизонтальные проекции (7) и (2) точек. Аналогично, изменяя только радиус шара, получаем еще ряд точек. Соединив эти точки кривой линией, находим искомую линию пересечения.

Пример 56

Дать развертку боковой поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 77).

Решение. Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра, радиус основания которого равен r, а высота l), является прямоугольник с основанием длиной 2r и высотой l. Для того чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины окружности, обычно вписывают в основание цилиндра правильный 12-угольник (на чертеже показываем только вершины 0, 1, 2 и т. д.), и его периметр принимают за длину основания прямоугольника. Таким образом развертку боковой поверхности прямого кругового цилиндра заменяют с достаточной для практики точностью разверткой боковой поверхности прямой правильной 12-угольной призмы, вписанной в данный цилиндр.

Рисунок 77

Показываем дополнительно, как перенести точку (K₁,K₂) с поверхности цилиндра на его развертку. Откладываем на основании прямоугольника отрезок ОМ, равный длине выпрямленной дуги OM₁, и, восставив в точке М перпендикуляр, откладываем на нем отрезок МК, равный M₂K₂.

Пример 57

Дать развертку боковой поверхности наклонного конуса с круговым основанием (рис. 78).

Решение. Делим основание конуса на 12 равных частей и проводим через точки деления образующие. Таким образом, всю боковую поверхность конуса разбиваем на 12 криволинейных треугольников, которые с достаточной для практики точностью можно заменить плоскими треугольниками; следовательно, боковая поверхность конуса заменяется боковой поверхностью двенадцатиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Рисунок 78

Находим натуральные величины всех образующих конуса с помощью дополнительных проекций. Для этого выполняем построение прямоугольных треугольников S'₁S'₂5'₁, S'₁S'₂6'₁ и т.д, где величина S'₁5'₁ равна горизонтальной проекции S₁5₁, S'₁6'₁ равна горизонтальной проекции S₁6₁ и т.д. Гипотенуза в этих треугольниках является натуральной величиной образующих, по которым выполняем построение треугольников для развертки. Соединив концы образующих плавной кривой, получаем развертку боковой поверхности, наклонного конуса. Дополнительно на чертеже показан перенос производной точки К с поверхности конуса на его развертку.

Пример 58

Построить линии пересечения двух кривых поверхностей.

Рисунок 79

Решение: решение выполнено с помощью фронтальных плоскостей уровня.