2.3 Векторное произведение векторов

Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но и вектор. Понятие векторного произведения, о котором пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евклидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого отлично от трех, не имеется аналогий этого понятия.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись , , означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым – вектор и третьим – вектор .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к общему началу векторами , , , мы видим кратчайший поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , является правой, если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1. длина вектора равна , где – угол между векторами и , т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах;

2. вектор ортогонален плоскости векторов и ( , );

3. векторы , , образуют правую тройку векторов.

Требования 1 и 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направлений. В случае, когда и коллинеарные, тройка , , является компланарной, но в этом случае уже из требования 1 следует, что .

Понятие векторного произведения (так же, как и скалярное произведение) родилось в механике. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке силу, а вектор идет из некоторой точки в точку , то вектор представляет собой момент силы относительно точки .

Свойства векторного произведения

1. векторы и – коллинеарны. В частности .

2. (антикоммутативность).

3. , для любого (однородность).

4. ,

(дистрибутивность).

Если векторы , заданы своими координатами в базисе , т.е. то

2.4 Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. .

Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то .

В краткой записи:

Свойства смешанного произведения

1. .

2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

3. векторы компланарны.

4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,

.

5. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Теорема. Если векторы заданы своими координатами: , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

.