§ 17. «Персональную тройку» – каждому

З адача 17. 1. Два бруска, массы которых m₁ и m₂, связаны нитью и находятся на поверхности стола. К одному из брусков приложена сила , направленная в сторону, противоположную нити. Найти силу ее натяжения, если коэффициент трения брусков о поверхность стола равен , нить в начальный момент практически не провисает, а брусок находится в покое.

Поскольку речь идет о нахождении сил, задача относится к компетенции динамики. Но законы Ньютона формулируются для частицы, а рассматриваемую в задаче систему, вообще говоря, нельзя считать частицей. Как быть? Следуя принципу «разделяй и властвуй», можно отдельно анализировать движение каждого бруска и нити. Тогда задача распадается на три задачи о движении ч астиц (и бруски, и нить движутся поступательно). Для каждой из частиц можно «запрячь персональную тройку» законов Ньютона.

В качестве инерциальной системы отсчета естественно принять «Лабораторию», неподвижную относительно Земли. Для записи уравнений второго закона Ньютона в этой системе отсчета, следует, по крайней мере, указать направление ускорений рассматриваемых частиц. Что по этому поводу можно почерпнуть из условия задачи? Ясно, что ускорение всех трех тел может быть направлено так, как показано на рисунке 31, то есть в сторону приложенной силы . А может ли это ускорение быть равным нулю? Может, если модуль силы слишком мал. При решении задач с абстрактным содержанием (без конкретных чисел) следует учитывать все возможные варианты. Каковы же они в данной задаче?

Сила может быть столь мала по модулю, что не в состоянии сдвинуть с места брусок m₂ и, следовательно, натянуть нить, то есть

T₁ = T₂ = T = 0. (17.1)

Такая ситуация возникнет при условии

F = F_Т2   m₂ g , (17.2)

где _T2 – сила трения, действующая на брусок m₂ (рис.31). Эта сила удовлетворяет условию (13.8), поскольку является в данном случае силой трения покоя.

Если модуль силы превысит ограничение (17.2), то нить натянется, и может возникнуть ускорение . Оно одинаково для всех частей системы, поскольку деформация нити пренебрежимо мала – «нить нерастяжима».

Запишем в проекциях на ось x уравнение второго закона Ньютона для бруска m₁ (рис. 31):

m₁ a = T₁ – F_Т1. (17.3)

₁ – сила натяжения нити, приложенная к первому бруску, а _Т1 – сила трения, удовлетворяющая условию

F_Т1   m₁ g . (17.4)

Знак « < » в (17.4) относится только к частному случаю a = 0 (сила трения покоя), знак « = » помимо этого описывает и движение с a  0 (сила трения скольжения).

Аналогичным образом для второго бруска получим

m₂ a = F – T₂ – F_Т2 . (17.5)

Здесь сила F_Т2 принимает свое максимально возможное значение, равное силе трения скольжения

F_Т2 =  m₂ g . (17.6)

Запишем в проекциях на ось x уравнение второго закона Ньютона для нити, полагая, что ее масса равна m_Н. Силы, приложенные к нити со стороны брусков (на рис. 31 не показаны), отличаются лишь знаком от сил ₁ и ₂ в соответствии с третьим законом Ньютона. Получим

m_Н a = T₂ – Т₁ . (17.7)

В связи с тем, что масса нити m_Н много меньше массы брусков m₁ и m₂, а T₁ и T₂, как видно из формул (17.3) и (17.5), порядка m₁a и m₂a, величиной m_Н a в формуле (17.7) можно пренебречь по сравнения с T₁ и T₂, то есть положить

T₁  T₂  T. (17.8)

Это часто используемое приближение означает, что «невесомая» нить передает силу натяжения от одной ее точки к другой без изменения.

Складываем уравнения (17.3) и (17.5) после подстановки в них (17.6) и (17.8):

(m₁ + m₂) a =F – F_Т1 –  m₂ g. (17.9)

Если a = 0, то из (17.9), (17.3) и (17.8) получаем

T = F –  m₂ g . (17.10)

Этот результат справедлив за рамками ограничения (17.2), но при условии (17.4), которое после подстановки (17.10) принимает вид

F_Т1 = T = F ––  m₂ g   m₁ g  F   (m₁ + m₂) g . (17.11)

Если a  0, то величину F_Т1 следует выразить из равенства (17.4) и подставить в (17.9) Тогда

a = F / (m₁ + m₂) –  g .

Это выражение совместно с (17.3) и (17.8) позволяет получить

T = F m₁ / (m₁ + m₂). (17.12)

Найденный результат справедлив за рамками ограничения (17.11).

Объединяя полученные соотношения (17.1), (17.10) и (17.12), а также соответствующие им условия (17.2) и (17.11), можно записать ответ в компактном виде:

0, если F =   m₂ g;

T = F –  m₂ g, если  m₂ g  F   (m₁ + m₂) g;

F m₁ / (m₁ + m₂), если F   (m₁ + m₂) g .

Один из элементов Анализа результата заключается в проверке равенства значений T, даваемых разными строками этого выражения, на границе соответствующих областей.

В копилку опыта

• Е

  

  сли система состоит из нескольких частиц, то для каждой из них приходится «запрягать персональную тройку» законов Ньютона.

• Невесомая нить передает без изменения силу натяжения от одной ее точки к другой.

• Иногда ответ представляет собой не одно равенство, а совокупность нескольких выражений, включающих и неравенства.

Задача 17. 2. Найти ускорения грузов и силы натяжения нитей в системе, показанной на рисунке 32. Блоки считать идеальными и невесомыми, нити – нерастяжимыми.

У скорения грузов ₁ и ₂ могут быть направлены или так, как показано на рисунке 32 сплошной стрелкой, или в противоположном направлении (пунктирная стрелка). Чтобы не анализировать оба варианта по отдельности, введем ось x (рис. 32) и будем искать проекции ускорений a_1X и a_2X.

Модули сил натяжения ₁, ₂ и ₃ нужно найти для каждой из трех нитей (рис. 32). О каких именно точках нитей здесь идет речь, не имеет значения, поскольку нити невесомы и блоки идеальны. Идеальные блоки не обладают массой и могут свободно поворачиваться, в результате чего они не меняют сил натяжения охватывающих их нитей.

К акие законы нужно применить для решения этой задачи? Нужно применить законы Ньютона для каждой из частиц, которыми можно считать грузы и блоки. Массу блоков при этом полагаем сосредоточенной в их центре масс.

В качестве инерциальной системы отсчета возьмем лабораторию, неподвижную относительно Земли. Именно в этой системе отсчета нужно находить ускорения ₁ и ₂.

Запишем в проекциях на ось x (рис. 32) уравнения второго закона Ньютона для грузов m₁ и m₂:

m₁ a_1X = T₁ – m₁ g , (17.13)

m₂ a_2X = T₂ – m₂ g , (17.14)

Здесь m₁ и m₂ – силы тяжести грузов, а ₁, и ₂ – силы натяжения нитей (рис. 32)

Достаточно ли этих уравнений для решения задачи? Какие еще соотношения можно использовать? Можно применить уравнения второго закона Ньютона для блоков:

0 = T₃ – 2 T₁, (17.15)

0 = 2 T₁ – T₂ . (17.16)

Хотя ускорение второго блока отлично от нуля, нулю равны левые части обоих уравнений, поскольку идеальные блоки невесомы. Сила, действующая на первый блок со стороны огибающей его нити, равна – 2 ₁. Она только знаком отличается от силы, действующей со стороны той же нити на второй блок (рис. 32).

Нужны ли еще какие-либо уравнения для решения задачи? В полученные четыре уравнения входят пять неизвестных: a_1X, a_2X, T₁, T₂ T₃, так что необходимо составить еще одно уравнение, в которое входили бы величины a_1X и a_2X. Все ли учтено из того, что задано в условии задачи? Пока никак не учитывалось, что нить нерастяжима. Именно это свойство нити и позволяет связать величины a_1X, a_2X. Чтобы поднять подвижный блок на высоту x, следует опустить левый конец нити на 2 x (рис. 32). Поэтому скорость и ускорение груза m₁ по модулю оказываются вдвое больше по сравнению с этими величинами для груза m₂. Так находим

a_1X = – 2 a_2X. (17.17)

Осталось решить полученную систему уравнений. Проделайте это самостоятельно и сравните с приведенными здесь ответами:

a_1X = 2 g ; a_2X = g ; T₁ = ; T₂ = T₃ = 2 T₁ .

Проводя Анализ результата, следует, в частности, рассмотреть условие равновесия, а также выяснить направление возникающих при его нарушении ускорений. При равновесии (a_1X = 0) m₂ = 2 m₁ и T₁ = m₁ g. Если m₂ > 2 m₁, то a_1X > 0, и, следовательно, ускорение ₁ направлено вверх (рис. 32, сплошная стрелка). Если же m₂ < 2 m₁, то оно направлено в противоположную сторону. В пределе при m₁  0 ответы дают физически очевидные значения: a_2X = – g, a_1X = 2 g, T₁ = T₂ = T₃ = 0.

В копилку опыта

• И

  

  деальный блок не меняет силу натяжения охватывающей его нити.

• Для идеального блока можно записывать условие равновесия даже тогда, когда ось его движется с ускорением.

• Перемещение, скорость и ускорение подвижного блока вдвое меньше по сравнению с соответствующими величинами конца охватывающей его нити.

З адача 17. 3*. На гладком горизонтальном столе находится клин массой M с углом наклона  при основании. На наклонную грань клина кладут брусок массой m, привязанный к нити. Нить перекинута через идеальный блок, укрепленный на вершине клина, и прикреплена к стене (рис. 33). Отрезок нити между стеной и блоком расположен горизонтально. Брусок начинает скользить по поверхности клина. С каким ускорением при этом движется клин?

И з Анализа условия следует, что нужно применить законы динамики для клина и для бруска. Инерциальная система отсчета – «Земля». Именно в этой системе отсчета предполагается находить ускорение клина (рис. 33).

Применим второй закон Ньютона для клина. Какие силы приложены к нему? M – сила тяжести; – сила реакции стола; – – сила давления бруска. На рисунке 33 показана приложенная к бруску со стороны клина сила , которая связанная с силой давления третьим законом Ньютона. Нить, опираясь на блок, также действует на клин. Сила со стороны горизонтального участка нити направлена к стене, а с противоположной стороны к блоку приложена сила – ₁. На рисунке 33 показана равная ей по модулю сила натяжения нити ₁, приложенная к бруску. Невесомая нить передает силу натяжения от точки к точке без изменения, идеальный блок лишь изменяет ее направление, так что T = T₁.

В проекциях на ось x (рис. 33) уравнение второго закона Ньютона для клина принимает вид

M a = T – T cos  + N sin  . (17.18)

Теперь следует применить второй закон Ньютона к бруску. Приложенные к нему силы показаны на рисунке 33. Что известно об ускорении бруска? Относительно клина он движется с ускорением _1К (рис. 33), направленным вдоль поверхности клина. Но в уравнение должно войти ускорение ₁ = _1З относительно инерциальной системы отсчета. Таковой является «Земля». Приходится применить закон сложения ускорений (3.5):

₁ = _1З = _1К + _КЗ = _1К + . (17.19)

Следует также учесть нерастяжимость нити, вследствие чего

a = a_1К . (17.20)

Проецируя уравнение (17.19) на координатные оси x и y (рис. 33), получим с учетом (17.20):

a_1X = – a cos  + a , (17.21)

a_1Y =a sin  . (17.22)

Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на оси x и y для бруска принимает вид:

m a_1X = T cos  – N sin  , (17.23)

m a_1Y = m g – T sin – N cos  . (17.24)

Из системы (17.18), (17.23), (17.21) и (17.22) можно найти (проделайте самостоятельно):

a = .

В



копилку опыта

• Перейти в инерциальную систему отсчета поможет закон сложения ускорений.

• Геометрические связи частиц системы (нерастяжимые нити, неизменные углы наклона плоскостей и т. п.) позволяют получить необходимые дополнительные соотношения между ускорениями частей системы