§ 23. Одного закона изменения может оказаться мало

З адача 23. 1. Человек, стоя на коньках на льду, бросает камень горизонтально со скоростью v относительно земли. Масса человека – M, масса камня – m. Какую работу A_Ч совершает человек?

Работу каких сил и над какими телами нужно найти? Очевидно, имеется в виду работа, совершаемая мышцами человека. Мышечные усилия приводят в движение не только камень, но и самого человека.

Какие законы следует применить? Искомую работу поможет найти закон изменения механической энергии (20.15). Рассмотрим систему «человек, камень» и запишем соотношение (20.15) для двух состояний:1) – до броска, 2) – после него. Получим

m v² / 2 + M u² / 2 – 0 = A_Ч . (23.1)

Механическая энергия рассматриваемой системы совпадает с ее кинетической энергией. Скорость человека после броска – u. Работа внешних сил – силы тяжести и силы нормальной реакции – равна нулю, так как тела перемещаются перпендикулярно этим силам. Работа внутренних непотенциальных сил A_Н представляет собой искомую работу человека A_Ч.

Одного уравнения (23.1) оказывается недостаточно для решения задачи, поскольку оно содержит две неизвестные величины: A_Ч и u. Приходится применить еще и закон изменения импульса (20.2). Запишем его в проекциях на горизонтальную ось для тех же состояний той же системы.:

m v – M u = 0 . (23.2)

Из (23.2) и (23.1) найдем

A_Ч = m v² (1 + m /M) / 2 .

Видно, что работа человека больше энергии, сообщенной камню. Лишь при m << M различием этих величин можно пренебречь.

В



копилку опыта

• Законы изменения энергии и импульса часто применяются совместно.

• Работа внутренних непотенциальных сил может быть положительной.

Задача 23. 2. Шар массой m₁, катящийся со скоростью v по горизонтальной поверхности, упруго сталкивается с неподвижным шаром массой m₂. Каковы скорости обоих шаров после удара? Шары однородны, их размеры одинаковы.

Н а рисунке 50 слева показаны шары до столкновения, а справа – после него. Скорость ₁ первого шара после столкновения может быть направлена так, как показано сплошной стрелкой на рис. 50 или в противоположную сторону – пунктирная стрелка.

Поскольку нужно найти две величины u₁ и u₂, ясно, что одним законом изменения не обойдешься.

Применим закон изменения импульса в проекциях на ось x (рис. 50) для сталкивающихся шаров:

m₁ u_1X + m₂ u₂ – m₁ v = 0 . (23.3)

В уравнении (23.3) использована проекция u_1X скорости ₁, чтобы «убить двух зайцев сразу». По знаку найденной величины u_1X можно будет судить о том, в какую сторону на самом деле направлен вектор ₁.

Применим закон изменения механической энергии:

m₁ u_1X² / 2 + m₂ u₂² / 2 – m₁ v²/ 2 = A + A_Н . (23.4)

Работа внешних сил A (сил тяжести и реакции поверхности) равна нулю, так как указанные силы перпендикулярны перемещениям. Работа внутренних непотенциальных сил A_Н также равна нулю, потому что удар предполагается абсолютно упругим.

Полученную систему уравнений (23.3) и (23.4) удобно решать следующим образом:

u₂ = ; u_1X = . (23.5)

Видим, что u_1X > 0 (скорость ₁ направлена вдоль оси x), если m₁ > m₂. Пунктирная на рисунке 50 стрелка соответствует случаю m₁ < m₂. Если m₁ = m₂, то u_1X = 0, а u₂ = v – одинаковые шары при абсолютно упругих столкновениях обмениваются своими импульсами. В случае m₁ << m₂ скорость u₂ << v, а u_1X  – v; это означает, что легенький шар отскакивает, «как от стенки горох».

Задача 23. 3. Биллиардный шар с энергией E₀ абсолютно упруго сталкивается с таким же неподвижным шаром и отклоняется от первоначального направления на угол, равный 60⁰. Определить направление движения второго шара, а также энергии шаров после столкновения.

П очему, в отличие от предыдущей задачи, шары не остаются на одной прямой? Потому, что происходит не центральный удар: скорость сближения шаров не направлена вдоль прямой, соединяющей их центры. Именно на прямой, соединяющей центры, лежит (в отсутствии трения) сила взаимодействия , которая отклоняет шар, двигавшейся со скоростью , на угол  (рис. 51). Обусловленная третьим законом Ньютона сила – сообщает второму шару скорость ₂, направленную под углом  к скорости .

Какие законы следует применить? Пример предыдущей задачи подсказывает, что следует применить законы изменения энергии и импульса.

Рассматриваем систему двух шаров, массы которых равны m. Сопоставляем состояния  и : до столкновения и после него (рис. 51).

Закон изменения импульса (20.2) приводит к соотношению

m ₁ + m ₂ – m = 0 . (23.6)

Правая часть уравнения (23.6) равна нулю, так как силы тяжести биллиардных шаров уравновешиваются силами реакции опоры.

Закон изменения механической энергии (20.15) дает

m v₁² / 2 + m v₂² / 2 – m v²/ 2 = 0 . (23.7)

Работа A внешних сил (тяжести и реакции опоры) равна нулю, поскольку эти силы перпендикулярны направлению, в котором перемещаются их точки приложения. Работа A_Н внутренних непотенциальных сил равна нулю для абсолютно упругого столкновения: именно таков, по определению, смысл указанного понятия.

Достаточно ли этих уравнений для решения задачи? Входят ли в них искомые величины? Как эти величины связаны с неизвестными полученных уравнений? Энергии шаров определяются модулями их скоростей:

E₀ = m v²/ 2 ; E₁ = m v₁² / 2 ; E₂ = m v₂² / 2 . (23.8)

Для указания направления вектора ₂ нужно найти угол  (рис. 51). Как это сделать? Можно записать уравнение (23.6) в проекциях на оси x и y (рис. 51). Тогда получится система трех уравнений, их которой можно найти неизвестные v₁, v₂ и . Воспользуемся иным – геометрическим методом решения. Для этого представим соотношение (23.6) векторным треугольником, изображенным на рисунке 51. Уравнение (23.7) перепишем так:

(m v²) = (m v₁²) + (m v₂²) . (23.9)

Соотношение (23.9) для векторного треугольника, изображенного на рисунке 51, означает, что этот треугольник является прямоугольным, так как длины его сторон связаны теоремой Пифагора.

Из указанного прямоугольного треугольника сразу получим искомый угол :

 = 90⁰ – 60⁰ = 30⁰.

Соотношения сторон в таком треугольнике позволяют записать

v₁ = v / 2 , v₂ = v / 2. (23.10)

Подставляя (23.10) в (23.8), найдем остальные ответы:

E₁ = E₀ / 4 , E₂ = 3 E₀ / 4 .

В



копилку опыта

• Задачи о столкновении требуют применения законов изменения механической энергии и импульса.

• Геометрический метод – анализ элементов векторных треугольников – иногда более удобен по сравнению со стандартным методом нахождения проекций векторов.

З адача 23. 4. Найти количество теплоты, которое выделилось при абсолютно неупругом центральном ударе двух шаров, двигавшихся навстречу друг другу. Массы шаров равны m₁ и m₂, а их скорости, соответственно, v₁ и v₂.

Каков механизм выделения теплоты? Встречалась ли аналогичная ситуация в других задачах? В задаче 22. 7 тоже речь шла о выделении тепла. Количество выделившейся теплоты приравнивалось взятой с обратным знаком работе сил трения. В данном случае шары при столкновении деформируются, их форма и размеры не восстанавливаются, шары движутся далее как одно целое. Именно такую ситуацию имеют в виду, когда говорят об абсолютно неупругом столкновении. При деформации части тел трутся друг о друга. Работа этих сил трения, как и в задаче 22. 7, равна по модулю количеству выделившейся теплоты:

Q = – A_Т. (23.11)

Какой закон следует использовать для нахождения A_Т? Нужно использовать закон изменения механической энергии (20.15). Запишем его для состояний  и  системы двух шаров (рис.52):

(m₁ + m₂) v²/ 2 – (m₁ v₁² / 2 + m₂ v₂² / 2) = A_Т. (23.12)

Потенциальной энергии рассматриваемая система не имеет – нет внутренних потенциальных сил. Работа внешних сил (тяжести и реакции опоры) равна нулю. Работа A_Н внутренних непотенциальных сил – это работа сил трения при столкновении A_Т.

Достаточно полученных уравнений для решения задачи? Нет, в двух уравнениях три неизвестных: Q, A_Т, и v. Поэтому нужно использовать еще закон изменения импульса (20.2) в проекциях на ось x (рис. 52). Чаще всего проекции выражаются через модули векторов. В данном случае направление скорости может быть таким, как показано на рисунке 52 сплошной или пунктирной стрелками. Иных направлений при лобовом столкновении быть не может. Из-за указанной неопределенности целесообразно использовать в уравнении переменную v_X для обозначения проекции вектора . Получим

(m₁ + m₂) v_X – (m₁ v₁ – m₂ v₂) = 0 . (23.13)

Из (23.13) найдем

v_X = (m₁ v₁ – m₂ v₂) / (m₁ + m₂) . (23.14)

Выражение (23.14) снимает неопределенность в направлении скорости : скорость направлена в ту же сторону, что и наибольший по модулю импульс сталкивающихся шаров.

Теперь осталось учесть, что v² = v_X², и подставить (23.14), а также (23.11) в (23.12). Получим

Q = .

З адача 23. 5*. Шарик массой M висит на нити длиной l и может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. В него попадает и застревает пуля массой m, летевшая вниз под углом  к горизонту. Какой минимальной скоростью должна обладать пуля, чтобы в результате ее попадания шарик мог сделать полный оборот в вертикальной плоскости? Какое количество теплоты при этом выделится?

И з Анализа содержания задачи следует, что для ее решения придется применить законы изменения, но не только их. Поэтому нужно вначале спланировать последовательность использования тех или иных соотношений.

В результате попадания пули шарик приобретает некоторую скорость ₁ и начинает двигаться по окружности радиуса l (рис. 53). Он может достичь верхней точки, обладая скоростью ₂. Соответствующее этой скорости центростремительное ускорение должно обеспечиваться силой натяжения нити и силой тяжести (M + m) . В предельном случае, о котором говорится в задаче, сила обращается в нуль. Для установления связи между перечисленными величинами, а также для нахождения количества теплоты Q, выделившегося при попадании пули, нужно использовать и закон изменения импульса, и з акон изменения энергии, и законы динамики, и кинематические соотношения. Возникает довольно громоздкий план решения. Его можно сделать четким и наглядным, представив в виде так называемой граф-схемы, изображенной на рисунке (54).

Стрелки граф-схемы, отражают очередность определения неизвестных, начиная от заданных в условии величин (в прямоугольных рамках) до искомых (в двойных кружках). На граф-схеме указаны также аббревиатуры законов или соотношения, которые нужно использовать на соответствующем этапе решения.

Начнем с последних звеньев граф-схемы. Запишем уравнение второго закона Ньютона для шарика с застрявшей пулей в верхней точке траектории, имея в виду предельный случай, когда F = 0:

(M + m) a = (M +m) g . (23.15)

Далее определяем u₂ посредством кинематического соотношения, указанного на граф-схеме:

a = u₂² / l . (23.16)

Следующий этап – применение закона изменения энергии (ЗИЭ) (20.15) для состояний  и  (рис. 53), чтобы выразить u₁ через u₂ . Рассматриваем систему «шарик с пулей и Земля». Получим уравнение

(M + m) g 2 l + (M + m) u₂² / 2 – (M + m) u₁² / 2 = 0 . (23.17)

Потенциальная энергия принята равной нулю в состоянии . Внутренних не потенциальных сил нет. Поэтому A_Н = 0. Сила натяжения нити – внешняя для рассматриваемой системы. Ее работа равна нулю, так как эта сила перпендикулярна элементарным перемещениям точки приложения.

Последний шаг к искомой величине v требует применения закона изменения импульса (ЗИИ) (20.2). Система – «шарик и пуля». Первое состояние – до столкновения, второе – непосредственно после него. Уравнение проецируем на горизонтальную ось.

(M + m) u₁ – m v cos  = 0 . (23.18)

Теплота Q выделяется за счет работы сил трения при не упругом ударе пули. Для нахождения Q следует применить закон изменения энергии (ЗИЭ) (20.15):

(M + m) u₁² / 2 – m v² / 2 = A_Н, где A_Н = – Q . (23.19)

Осталось из полученной системы уравнений выразить искомые величины (проделайте самостоятельно). Они равны:

v = , Q = .

В



копилку опыта

• При неупругом столкновении тел количество выделившейся теплоты равно уменьшению их механической энергии.

• Если план решения задачи оказывается громоздким, то его целесообразно представить в виде граф-схемы.