Методы исследования

Характеристики процессов теплообмена и течения жидкости можно определить экспериментально и теоретически. Рассмотрим вкратце каждый из этих подходов, а затем сравним их между собой.

Экспериментальные исследования. Часто наиболее надёжную информацию о физическом процессе можно получить путём непосредственных измерений. С помощью экспериментального исследования на полномасштабной установке можно определить поведение объекта в натурных условиях. В большинстве случаев такие полномасштабные опыты чрезмерно дороги и часто просто невозможны. Альтернативой является проведение экспериментов на маломасштабных моделях. Однако полученную информацию необходимо экстраполировать на натурный объект, а общие правила для этого часто отсутствуют. Кроме того, на маломасштабных моделях не всегда можно воспроизвести все свойства полномасштабного объекта. Это также снижает ценность полученных результатов. Наконец, надо помнить, что во многих случаях измерения затруднены, и измерительное оборудование может давать погрешности.

Теоретические исследования. При теоретическом исследовании определяются, скорее, результаты решения задачи согласно используемой математической модели, а не характеристики действительного физического процесса. Для интересующих нас физических процессов математическая модель состоит, главным образом, из системы дифференциальных уравнений. Если бы для решения этих уравнений использовались только методы классической математики, то вряд ли удалось бы рассчитать многие имеющие практический интерес явления. На основании классических работ по теплообмену или гидродинамике можно прийти к выводу, что в аналитическом виде можно получить решения только небольшой части задач, имеющих практический интерес. Кроме того, эти решения часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные уравнения для собственных значений и т.д., и их числовая оценка может представлять весьма сложную задачу. Мы не хотим этим сказать, что точное аналитическое решение не имеет практической ценности. Напротив, как будет показано в дальнейшем, некоторые особенности численных методов можно установить с помощью простых аналитических решений. К тому же, нет лучшего способа проверки точности численного метода, чем сравнение с точным аналитическим решением. Тем не менее, по-видимому, не вызывает сомнений тот факт, что методы классической математики не дают практических путей решения сложных инженерных задач.

Современный уровень развития численных методов и наличие больших ЭВЦМ и ПЭВМ позволяет полагать, что почти для любой практической задачи можно составить математическую модель и провести её численное исследование. Идею численного подхода можно показать с помощью рис. В.1. Предположим, что нам необходимо получить распределение температур в изображённой области. Допустим, что для этого достаточно знать температуру в дискретных точках области. Один из возможных методов её получения - отыскание значений температуры в узловых точках сетки, на которую разбивается область, при этом для неизвестных температур записываются и решаются алгебраические уравнения. Именно это упрощение, связанное с использованием алгебраических, а не дифференциальных уравнений, делает численные методы широко применимыми.

Преимущества численного решения. Перечислим преимущества численного решения по сравнению с

соответствующим экспериментальным исследованием.

Низкая стоимость. Наиболее важным преимуществом численного решения является его небольшая стоимость. В большинстве случаев стоимость затраченного машинного времени на много порядков ниже стоимости соответствующего экспериментального исследования. Значение этого фактора возрастает с увеличением масштабов и усложнением требующего изучения физического процесса.

Скорость. Численное исследование можно провести очень быстро. Конструктор имеет возможность меньше, чем за день, просчитать сотни вариантов и выбрать оптимальную конструкцию, в то время как соответствующее экспериментальное исследование заняло бы очень много времени.

Полнота информации. Численное решение задачи даёт подробную и полную информацию. С его помощью можно найти значения всех имеющихся переменных (таких, как скорость, давление, температура, концентрация, интенсивность турбулентности) во всей области решения. В отличие от эксперимента для расчёта доступна практически вся исследуемая область и отсутствуют возмущения процесса, вносимые датчиками при экспериментальном исследовании. Очевидно, что ни в одном экспериментальном исследовании невозможно измерить распределение всех переменных во всей исследуемой области. Поэтому, даже если проводится экспериментальное исследование, большое значение для дополнения экспериментальной информации имеют результаты численного решения.

Возможность математического моделирования реальных условий. Численное решение можно получить для реальных условий исследуемого процесса, что далеко не всегда возможно при экспериментальных исследованиях.

Возможность моделирования идеальных условий. Если при помощи численного решения изучаются закономерности физического процесса, а не сложные инженерные задачи, то можно сконцентрировать внимание на нескольких существенных параметрах этого процесса и исключить все несущественные явления. При этом можно моделировать многие идеализированные условия, например двумерность, постоянство плотности, адиабатическую поверхность или бесконечно быструю реакцию. При экспериментальном исследовании даже с помощью довольно тщательного эксперимента не всегда можно достичь таких идеализированных условий.

Недостатки численного решения. Численное решение даёт количественное выражение закономерностей, присущих математической модели. Напротив, с помощью экспериментального исследования наблюдается сама действительность. Таким образом, полезность расчёта ограничена обоснованностью математической модели, её адекватностью реальному процессу. В данном курсе будут рассмотрены только численные методы. Тем не менее, следует заметить, что результат численного решения зависит как от численного метода, так и от математической модели. Если используемая математическая модель не соответствует изучаемому явлению (не адекватна ему), то с помощью даже очень хорошей численной методики можно получить неправильные результаты.

Для обсуждения недостатков численного исследования полезно разбить все практические проблемы на две группы.

Группа А: проблемы, для которых математическая модель достаточно обоснована (например, теплопроводность, ламинарные течения, простые турбулентные пограничные слои).

Группа Б: проблемы, для которых обоснованные математические модели пока не разработаны (например, сложные турбулентные течения, течения некоторых неньютоновских жидкостей, образование оксидов азота при турбулентном горении, некоторые двухфазные течения).

Конечно, ответ на вопрос, в какую группу попадает данная проблема, будет зависеть от того, какую математическую модель мы считаем обоснованной.

Недостатки для группы А. Можно утверждать, что для большинства проблем группы А численное решение имеет весьма большие преимущества перед экспериментальным исследованием. Однако если цель исследования очень узкая (например, нужно определить падение давления в сложных аппаратах), то численное решение может быть не дешевле, чем эксперимент. Для задач, включающих сложную геометрию, сильные нелинейности, значительное изменение свойств жидкости и т.д., получение численного решения может оказаться трудным и чрезмерно дорогостоящим (главным образом, за счёт стадий разработки алгоритма и программы реализации модели). Наконец, если математическая постановка задачи допускает более одного решения, трудно определить, соответствуют ли результаты расчёта действительности.

Недостатки для группы Б. Проблемы этой группы разделяют все недостатки проблем группы А. Дополнительно к ним здесь неясно, в какой мере численные результаты согласуются с действительностью. В этих случаях требуется экспериментальное обоснование результатов численного исследования.

Исследования в области разработки математических моделей обусловливают переход проблем из группы Б в группу А. Они состоят из создания модели, получения путём численного решения количественных результатов и сравнения их с экспериментальными данными. Таким образом, в этих исследованиях численные методы играют ключевую роль. Замечательный пример этой роли можно найти в недавних исследованиях моделей турбулентности. Популярные в настоящее время и широко используемые модели турбулентности, включающие два уравнения, основаны, главным образом, на работах А.Н. Колмогорова (1942 г.) и Л. Прандтля (1945 г.), но только в 1970 г., когда были усовершенствованы ЭВМ и численные методы, такие модели стали использовать для практических целей.

Выбор метода исследования. Здесь мы не ставим целью путём обсуждения достоинств и недостатков численного решения и экспериментального исследования рекомендовать предпочесть расчёт эксперименту. Правильному выбору метода исследования должна предшествовать оценка сильных и слабых сторон обоих рассмотренных выше методов применительно к рассматриваемому процессу.

Эксперимент, несомненно, является единственным методом исследования новых фундаментальных явлений. В этом смысле расчёт следует за экспериментом. Однако расчёт более эффективен для изучения проблемы, включающей несколько взаимодействующих известных явлений. Но и в этом случае надо обосновать результаты решения путём сравнения их с экспериментальными данными.

Таким образом, оптимальное исследование должно разумно сочетать расчёт и эксперимент. Пропорция, в которую должны входить каждый из ингредиентов, будет зависеть от существа проблемы, от целей исследования и от имеющихся экономических и других ограничений.