Физический смысл дифференциальных уравнений

Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях в частных производных (ДУЧП) даются в курсе “Высшая математика”. Здесь мы отметим два момента важных для дальнейшего. Прежде всего, напомним себе, что развитие любого процесса, любого физического явления представляет собой компромисс между вынуждающей силой, наличие которой целиком обусловливает саму возможность протекания процесса (явления), и силой сопротивления, препятствующей изменению состояния тела или системы. Так, например, побудительной причиной движения газов является градиент давления в его объёме или начальный запас кинетической энергии, а силой сопротивления – силы внутреннего трения газа и силы сопротивления твёрдых поверхностей, расположенных в объёме газа или его ограничивающих. Так как на преодоление сил сопротивления затрачивается энергия среды, то эти силы в некотором конкретном процессе (явлении) называют диссипативным механизмом (диссипация – рассеивание, ослабление, вырождение). Очевидно, что если какой-то процесс имеет диссипативный механизм, то этот процесс затухающий. В противоположность этому вынуждающую силу называют дисперсионным механизмом, так как результаты её проявления можно рассматривать как распространение плоских волн возмущений среды различной длины с разными скоростями. Мы здесь не будем вдаваться в сущность этого механизма и дисперсии вообще, так как это увело бы нас далеко в сторону от содержания курса и потребовало бы напомнить определение таких понятий, как фазовая скорость, её зависимость от частоты и т.п. Здесь важно одно: дисперсионные процессы не затухают в пространстве и времени.

Для математического описания совокупного действия этих механизмов используются дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), и физическое содержание этих уравнений является с точки зрения инженера их первой важной характеристикой. Второй важной характеристикой ДУЧП является их линейность и нелинейность. В большинстве случаев дифференциальные уравнения, имеющие отношение к теплофизическим процессам в металлургии и теплоэнергетике, являются нелинейными. Строгому аналитическому решению подаются лишь линейные ДУЧП, так как теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных до сих пор не существует. Нелинейные ДУЧП решают приближёнными аналитическими или численными методами, и в этом случае исходными для их решения являются линеаризованные уравнения, поэтому изучение свойств линейных ДУЧП весьма важно.

Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных

1. Основные положения

Итак, чтобы разрабатывать математические модели технологических процессов и обеспечивать эти процессы информационными технологиями, необходимо понимать физическое содержание ДУЧП. Строгий анализ математических свойств и методов решения дифференциальных уравнений в частных производных составляет содержание дисциплины “Уравнения математической физики”. Здесь мы ограничимся приведением без доказательства тех положений этой дисциплины, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Уравнение, связывающее неизвестную функцию (x, y, z, ), переменные x, y, z,  и частные производные от неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Оно имеет вид

где F – заданная функция своих аргументов, а порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения в частных производных.

Наиболее общее уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными х и у может быть записано в виде

Дифференциальное уравнение в частных производных называется квазилинейным, если оно линейно относительно старших производных неизвестной функции. Так, например, уравнение

(1.1)

есть квазилинейное уравнение второго порядка. Здесь использованы общепринятые обозначения для частных производных _х = / х и _у = / у.

Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её частных производных. Так, например, уравнение

(1.2)

есть линейное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции (х, у). Здесь  - любой параметр состояния тела или системы (температура Т, скорость движения v и т.д.), х – пространственная координата, а под у понимается либо вторая пространственная координата, либо время . При постоянных коэффициентах это уравнение называется линейным ДУЧП с постоянными коэффициентами.

Решением уравнения в частных производных (1.1) или (1.2) называется всякая функция  = (х, у), которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и её производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Уже анализ коэффициентов при старших производных позволяет ввести классификацию ДУЧП, различающихся по физическому содержанию и математическим свойствам. В общем случае можно выделить три разновидности уравнений (1.1) и (1.2):

Гиперболическое B² – 4AC > 0.

Параболическое B² – 4AC = 0. (1.3)

Эллиптическое B² – 4AC < 0.

Однако физическая и математическая сущность этих определений остаётся пока неясной.

Конкретный теплофизический процесс в целом определяется не только ДУЧП типа (1.1), но и некоторыми вспомогательными данными, которые называются краевыми условиями и представляют собой совокупность начальных и граничных условий. Если не делать различий между временем и пространственной координатой у как независимыми переменными, то вспомогательные данные, вводимые на контуре Г (см. рис. 1.1), посредством ДУЧП "экстраполируются" на область определения задачи , определяя тем самым закономерности изменения неизвестной функции  в конкретном процессе.

Вспомогательные условия бывают трёх типов:

1. Условие Дирихле (граничные условия I рода или начальные условия), например

 = f на Г или (х, 0) = f₀

для начальных условий. (1.4,а)

где f(x, y) и f₀(x) – некоторые наперёд

заданные (известные) функции или постоянные.

2. Условие Неймана (граничные условия II рода), например

(1.4,б)

3. Смешанное условие (его иногда называют условием Робина или граничным условием III рода), например

(1.4,в)

При формулировке условий (б) и (в) символ  / n означает производную по внешней к области  нормали; g(x, y) – заданная функция или число.

Совокупность ДУЧП и краевых условий определяет краевую задачу соответственно гиперболического, параболического и эллиптического типа. Но что означают сами эти термины?