1.4. Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных

В теплофизике (и не только в этой предметной области) эллиптические ДУЧП ассоциируются со стационарными проблемами. Простейший пример эллиптического ДУЧП даёт уравнение Лапласа

(1.32)

которое определяет стационарное распределение температур в длинной заготовке прямоугольного поперечного сечения, потенциальное течение несжимаемой жидкости, фильтрацию грунтовых вод в почве и многое другое. Кроме того, слагаемые левой части уравнения (1.32) входят составной частью в уравнения других типов, например, движения газов.

Пусть (x, y) характеризует значение температуры в сечении квадратной заготовки (в данном случае у – пространственная координата). Поскольку уравнение (1.32) имеет второй порядок по обеим координатам, то для его решения необходимо задать четыре граничных условия. Зададим на нижней грани (см. рис. 1.8) распределение температуры, соответствующее зависимости (х, 0) = sin(x), а на верхней грани  (x, 1) = sin(x)exp( ). На левой и правой гранях зададим нулевые температуры: (0, у) = (1, у) = 0. При этих граничных условиях уравнение (1.32) допускает точное решение

(x, y) = sin(x)exp( y) (1.33)

в области 0  x  1, 0  y  1.

Для эллиптического ДУЧП второго порядка, представленного в форме уравнения (1.2), существует важный принцип максимума, сущность которого состоит в утверждении: как максимальное, так и минимальное значения  достигаются на границе Г, если не считать того тривиального случая, когда величина  постоянна. Этот принцип весьма важен для проверки правильности решения.

Как уже отмечалось ранее, эллиптические ДУЧП не имеют вещественных характеристик, что, естественно, должно наложить отпечаток на физические свойства решения.

Интерпретация на физической основе

Наиболее важная особенность, касающаяся эллиптических ДУЧП, состоит в том, что возмущение, внесённое в точке Р (см. рис. 1.8), оказывает влияние на все другие точки области исследования, хотя вдалеке от точки Р это влияние будет малым. Тем самым косвенно утверждается, что при попытке отыскания численных решений эллиптических задач необходимо рассматривать глобальную область, т.е. всю область исследования  сразу. В противоположность этому параболические и гиперболические ДУЧП можно решать прогрессивно-маршевым методом, отталкиваясь от начальных условий. Разрывы в граничных условиях для эллиптических ДУЧП сглаживаются внутри области.

Отметим ещё одно обстоятельство. При рассмотрении параболических и гиперболических ДУЧП путём применения разложения в ряд (например, Тейлора) всегда можно получить некое локальное решение в непосредственной близости от границы или от некоторой точки, относительно которой у исследователя имеется подробная информация о закономерностях изменения искомого параметра. Попытка проделать то же самое, имея дело с эллиптическими ДУЧП, приводит, как правило, к получению бесконечно возрастающего решения, т.е. локального решения эллиптических задач не существует в принципе; имеются лишь глобальные решения.