Пример расчета металлической арочной крепи из специального профиля для двухпутевой выработки

Расчетная схема крепи в виде двухшарнирной арки с наклонными стойками α = 80°, нагруженной сверху равномерно распределенной нагрузкой р = 80 кПа и с боков nр = 40 кПа (n=0,5), представлена на рис. 6, а. Вначале определим усилия в арке от внешней нагрузки. Для определения горизонтальной реакции Н_Х определим Х₁ по формуле (П2.1) и значения величин, входящих в выражения А, В и С – формулы (П2.4) – (П2.6). При α = 80° (в радианах α = 80:57,3≈1,4) получим: sin α=0,985; sin² α=0,97; sin³ α=0,955; sin2 α=0,342; cos α=0,174; k=0,61 – формула (П2.7); k²=0,372; l=4,682 м – формула (П2.8); r²=4,84 м²; r³=10,65 м³; r⁴=23,40 м⁴; l²=21,9 м². Подставляя эти значения в формулы (П2.4) – (П2.6) получим: А= -25,22; В= 37,16; С= 15,77. Следовательно Х₁= -0,21 м.

Исследуя зависимость Х₁ от n, получим при n равном 0; 0,5; 0,7 и 1,0 значение Х₁, соответственно равное -0,80; -0,21; -0,025 и 0,378. Это свидетельствует о существенном влиянии величины боковой нагрузки на характер работы арки. Перед вычислением величины изгибающего момента М, продольной силы N и поперечных Q сил по длине полуарки определим сечения с максимальными значениями М_мах. На криволинейном участке таких сечений два: φ = 0 (ключевое сечение) и φ = arcсos 0,468 = 62,1° - формула (П2.13). На прямолинейном участке – одно: при у = 0,38 м – формула (П2.14). Для построения эпюр M, N и Q выделим на длине полуарки 7 характерных точек: пять на криволинейном участке при φ = 0; 22,5; 45; 62,1 и 80° и две на прямолинейном при у = 0 и у = 0,38 м. Точка с у = 1 м соответствует точке с φ = 80°.Координата точек на криволинейном участке x = 0,5l – rsin φ; y = k+rcos φ, а на прямолинейном участке x = yctg α.

Все расчеты для удобства и контроля правильности вычислений представим в табличной форме.

Таблица П4.1

Величины изгибающего момента на криволинейном участке полуарки – формула (П2.11)

φ, град	sin φ	cos φ	rsinφ	rcosφ	x	x2	y	y2
0	0	1,0	0	2,200	2,341	5,480	2,810	7,900
22,5	0,383	0,924	0,843	2,039	1,500	2,250	2,643	6,992
45,0	0,707	0,707	1,555	1,555	0,786	0,618	2,165	4,691
62,1	0,883	0,468	1,943	1,030	0,398	0,158	1,640	2,690
80,0	0,985	0,174	2,167	0,383	0,174	0,030	0,993	0,986

Продолжение табл. П4.1

φ, град	0,5lx	0,5x2	0,5ny2	X1y	M1	M=M1p, кН∙м
0	5,480	2,740	1,970	-0,590	0,180	14,4
22,5	3,511	1,210	1,750	-0,555	0,086	6,9
45,0	1,840	0,309	1,171	-0,455	-0,094	-7,5
62,1	0,932	0,079	0,672	-0,344	-0,163	-13,0
80,0	0,407	0,015	0,247	-0,208	-0,063	-5,0

Таблица П4.2

Величины изгибающего момента на прямолинейном участке полуарки – формула (П2.9)¹

у, м	у2	-у2D1	yD2	M1	M=M1p, кН∙м
0	0	-0	0	0	0
0,38	0,144	-0,038	0,076	0,038	3,0
1,00	1,000	-0,205	0,200	-0,065	-5,0

Таблица П4.3

Величины продольной силы N на криволинейном участке полуарки – формула (П2.12)

φ, град	ё		у	ny	ny-X1		N1	N=N1p кН/м
0	0	0	2,810	1,405	1,615	1,615	-1,615	-129,2
22,5	0,843	0,322	2,643	1,321	1,531	1,415	-1,737	-139,0
45,0	1,555	1,100	2,165	1,082	1,292	0,913	-2,013	-161,0
62,1	1,943	1,716	1,640	0,820	1,030	0,482	-2,198	-175,8
80,0	2,167	2,130	0,993	0,498	0,706	0,123	-2,253	-180,2

Таблица П4.4

Величины продольной N и поперечной Q сил на прямолинейном участке полуарки – формулы (П2.10) и (П2.15)²

у, м	Продольная сила			Поперечная сила
	уЕ	N1=yE+F	N=N1p, кН/м	yG	Q1=-yG+H	Q=Q1p, кН/м
0	0	-2,343	-187,4	0	0,200	16,8
0,38	0,093	-2,310	-184,8	0,200	0,00	0,0
1,00	0,087	-2,656	-180,3	0,524	0,324	-25,8

Таблица П4.5

Величины поперечной силы Q на криволинейном участке полуарки – формула (П2.16)

φ, град	х			ny-X1		Q1	Q=Q1p, кН/м
0	2,341	0	0	1,610	0	0,00	0,0
22,5	1,500	0,840	0,776	1,530	0,586	0,190	15,2
45,0	0,786	1,554	1,099	1,292	0,913	0,187	15,0
62,1	0,398	1,943	0,909	1,030	0,909	0,00	0,0
80,0	0,174	2,166	0,377	0,706	0,699	-0,322	-25,8

По найденным в 7 точках полуарки значениям M, N и Q построены эпюры, представленные на рис. П4.1, б, в, г.

Теперь необходимо подобрать тип специального профиля СВП и расстояние между арками (шаг крепи а_к). Зададимся в начале а_к = 1 м. По наибольшему изгибающему моменту М = 14,4 кН∙м в ключевом сечении (φ = 0°) определим ориентировочную величину момента сопротивления

.

Согласно справочнику по креплению горных выработок [7] принимаем СВП-22 с W_x=74,8 см³. Проверкой на прочность принятого сечения на изгиб с учетом продольного сжатия N = 129,2 кН при F_HT=27,91 см², значениях m=0,8 и n_p=1 (число рам на 1м), получим согласно нормам проектирования [11]

.

Следовательно, необходимо либо уменьшить шаг крепи, сохраняя тип специального профиля, либо принять СВП-27 с W_x=100,2 см³ и F_НТ=34,4 см².

Выражая приведенное выше уравнение прочности элементов арки через потребное число арок на 1 м выработки и, приняв , получим при СВП-22:

Шаг рам при этом составит

При СВП-27 с W_x=100,2 см³ и F_НТ=34,4 см², получим соответственно и .

Оба варианта приемлемы Остановимся на первом, предполагая наличие на складе СВП-22.

Для проверки стоек арки на продольную устойчивость примем условно их расчетную длину l₀ = 2м. Радиус инерции сечения элемента

Условная гибкость стоек из стали марки Ст.5

Приведенный эксцентриситет сечения (φ = 80°) стоек

По СНиП II-23-81 [11] при λ = 1,72 и m₁ = 1,04 находим коэффициент продольного изгиба φ_вн = 0,55 и проверяем прочность сечения стоек по формуле.

Несущая способность стоек обеспечивается. Окончательно принимаем арочную крепь из СВП-22 с шагом арок 0,8 м.

1 В формуле (П2.9) обозначено

.

2 Для удобства формулы представлены в следующем виде:

,

где

,

где

.

43