3.5.1. Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.
Постоянную
величину
можно рассматривать как величину,
принимающую значение
с вероятностью 1. Поэтому по определению
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
.
Так
как случайная величина
принимает значения
с вероятностью
(
),
то
.
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.
.
Пусть даны две независимые случайные величины и
В
соответствии с определением суммы и
разности случайных величин
(
)
представляют случайную величину, которая
принимает значения
,
(
),
где
и
,
с вероятностями
.
Поэтому
Так
как в первой двойной сумме
не зависит от индекса
,
по которому ведется суммирование во
второй сумме, и аналогично во второй
двойной сумме
не зависит от индекса
и
,
.
4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.
.
В
соответствии с определением произведения
случайных величин
представляет случайную величину, которая
принимает значения
,
где
и
с вероятностями
,
причем в силу независимости
и
.
Поэтому
.
5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную , то на эту же постоянную увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины.
.
Учитывая свойства математического ожидания, получим
.
6.
Математические ожидания центрированной
и нормированной случайных величин равны
нулю:
и
.
Доказательство.
Пусть математическое ожидание
.
Тогда получим
;
.
3.5.2. Свойства дисперсии случайной величины
1.
Дисперсия постоянной величины равна
нулю
.
.
2.
Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возведя его при этом
в квадрат:
.
Учитывая свойство математического ожидания, получим:
3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:
.
Или
,
где
.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
.
Учитывая, что а – величина постоянная,
неслучайная, найдем
.
4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
Доказательство.
.
Обозначая
,
и учитывая, что для независимых случайных
величин
,
получим:
Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин и равна сумме их дисперсий, т.е.
.
5.
Дисперсия центрированной случайной
величины равна
.
Доказательство.
.
6. Дисперсия нормированной случайной величины равна 1.
Доказательство.
.
Определение.
Модой
случайной
величины
называется её наиболее вероятное
значение (для которого вероятность
или плотность вероятности
достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Определение.
Медианой
непрерывной случайной величины
называется такое её значение, для
которого
.
Квантилем
уровня
(или q-квантилем)
называется такое значение
случайной величины, при котором функция
её распределения принимает значение,
равное
,
т.е.:
.
Под
-й
точкой подразумевается квантиль
,
т.е. такое значение случайной величины
,
при котором
.
Некоторые
квантили получили особое название.
Очевидно, что введенная выше медиана
случайной величины есть квантиль уровня
0,5, т.е.
.
Квантили
и
получили название соответственно
верхнего и нижнего квартилей.
Определение.
Начальными
и
центральными
моментами порядка
непрерывной случайной величины
называются величины
Замечание. Для дискретной случайной величины интегралы заменяются суммами:
Замечание.
Центральный момент второго порядка
является дисперсией случайной величины
.
Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:
и т.д.
Например,
(при
выводе учли, что
– неслучайная величина).
Выше
отмечено, что математическое ожидание
,
или начальный момент первого порядка,
характеризует среднее значение или
положение распределения случайной
величины
;
дисперсия
,
или центральный момент второго порядка
, –
степень рассеяния распределения
относительно
.
Для более подробного описания распределения
служат моменты высших порядков.
Центральный
момент третьего порядка
служит для характеристики асимметрии
(скошенности) распределения. Он имеет
размерность куба случайной величины.
Чтобы получить безразмерную величину,
её делят на
,
где
–
среднее квадратическое отклонение
случайной величины
.
Полученная величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины:
.
Если
распределение симметрично относительно
математического ожидания, то коэффициент
асимметрии
.
Центральный
момент четвертого порядка
служит для характеристики крутости
(островершинности или плосковершинности)
распределения.
Эксцессом случайной величины называется число
.
Если
распределение симметрично относительно
математического ожидания, то эксцесс
.
Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.