1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. Некто, набирая номер телефона, забыл две последние цифры номера телефона абонента, но помнит, что последняя цифра меньше предпоследней. Какова вероятность того, что при однократном пользовании телефоном-автоматом, некто наберет нужный номер телефона.

2. Для студенческой лотереи были пронумерованы 500 билетов номерами от 1 до 500. Организаторы лотереи сделали ее беспроигрышной. Все выигрыши разделили на три вида: а) «самый большой выигрыш» – том стихов Пушкина – приходится на билеты, номера которых содержат три одинаковых цифры; б) «средний выигрыш» – набор фломастеров – приходится на билеты, номера которых содержат две одинаковых цифры. Определить вероятность того, что: а) взятый наудачу билет окажется выигрышным; б) на взятый билет выиграют «средний выигрыш»; в) на взятый билет выиграют «большой выигрыш».

3. Имеются 50 экзаменационных билетов, каждый из кото­рых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100 вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

4. При стрельбе была получена частота попадания 0,6. Сколько было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?

5. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»?

6. В коробке 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два окажутся черными?

7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошло 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что 1) все пассажиры выйдут на четвертом этаже; 2) все пассажиры выйдут одновременно; 3) все пассажиры выйдут на разных этажах.

8. Стержень длины сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.

9. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

10. Считается равновероятным попадание снаряда в любую точку площади в 10000 . Определить вероятность попадания снаряда в мост, находящийся на этой площади, если длина 200 м и ширина 10 м.

11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что попадание точки на плоскость большого круга равновозможно для любой части его.

12. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро была бы ?

13. Общество из человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

14. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы при одном выстреле)? Как изменится результат, если охотники сделают по два выстрела?

15. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.

16. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность то­го, что среди отобранных деталей две окажутся бракован­ными?

17. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) от­лично; б) плохо.

18. В продажу поступили 1000 пальто с трех фабрик. С первой фабрики поступили 300 пальто, среди них 10 второсортных, со второй фабрики поступили 450 пальто, среди них 12 второсортных. С третьей фабрики поступили 250 пальто, среди них 8 второсортных. Покупателю подали для примерки пальто первого сорта. На какой фабрике вероятнее всего пошито это пальто?

19. Вероятность появления брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,01 и на третьем – 0,03. Производительность первого станка вдвое больше третьего, а производительность второго станка в 4 раза больше производительности первого станка. Детали, изготовленные на трех станках, хранятся на одном складе. Кладовщик взял наудачу одну деталь, она оказалась стандартной. На каком из станков вероятнее всего была изготовлена эта деталь.

20. Некоторый механизм состоит из 3 деталей типа А, пяти деталей типа Б, двух деталей типа В, шести деталей типа Г и четырех деталей типа Д. Вероятность повреждения детали тапа А равна 0,02, типа Б – 0,05, типа В – 0,10, типа Г – 0,03, типа Д – 0,09. Механизм вышел из строя. Какого типа деталь вероятнее всего повреждена?

21. В первой коробке 35 радиоламп, среди них 4 нестандартных. Во второй коробке 20 радиоламп, среди них 1 нестандартная. В третьей коробке 45 радиоламп, среди них 5 нестандартных. Из третьей коробки взяли наудачу 1 радиолампу и переложили во вторую коробку. Затем из второй коробки была наудачу взята радиолампа и переложена в первую коробку. После этого из первой коробки наудачу извлекли радиолампу. Какова вероятность того, что эта лампа стандартная?

22. В порт приходят корабли только из трех пунктов от­правления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта – 0,6. Найти вероятность при­бытия корабля из третьего пункта.

23. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

24. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки , 6 марки и 4 марки . Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент деталей отличного качества выпускает цех в целом?

25. Имеются два ящика: в первом 3 белых шара и 2 черных; во втором 4 белых и 4 черных. Из первого ящика во второй перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

26. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.

27. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?