39. Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества. Дифракция электронных пучков.

Гипотеза де Бройля заключается в том, что физик Луи де Бройль выдвинул идею приписать волновые свойства электрону. Проводя аналогию между квантом, де Бройль предположил, что движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом.

Если фотон обладает энергией   и импульсом   , то и частица (например электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.

  Согласно квантовой механике, свободное движение частицы с массой m и импульсом   (где υ – скорость частицы) можно представить как плоскую монохроматическую волну   (волну де Бройля) с длиной волны

распространяющуюся в том же направлении (например в направлении оси х), в котором движется частица

      Зависимость волновой функции   от координаты х даётся формулой

где   – волновое число, а  волновой вектор  направлен в сторону распространения волны или вдоль движения частицы:

      Таким образом, волновой вектор монохроматической волны, связанной со свободно движущейся микрочастицей, пропорционален её импульсу или обратно пропорционален длине волны.

      Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движущейся частицы   , то длину волны можно выразить и через энергию:

      При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерностей дифракции любых волн. Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между рассеивающими центрами:   .

40. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Границы применимости классической механики.

Экспериментальные исследования свойств микрочастиц (атомов, электронов, ядер, фотонов и др.) показали, что точность определения их динамических переменных (координат, кинетической энергии, импульсов и т.п.) ограничена и регулируется открытым Гейзенбергом принципом неопределенности. Согласно этому принципу динамические переменные, характеризующие систему, могут быть разделены на две (взаимно дополнительные) группы:

1) временные и пространственные координаты (t и q)

2) импульсы и энергия (p и E)

При этом невозможно определить одновременно переменные из разных групп с любой желаемой степенью точности (например, координаты и импульсы, время и энергию). Это связано не с ограниченной разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает фундаментальный закон природы. Его математическая формулировка дается соотношениями:

Где - неопределенности (погрешности) измерения координаты, импульса, энергии и времени, соответственно; h- постоянная Планка.

Обычно достаточно точно указывают значение энергии микрочастицы, так как эта величина сравнительно легко определяется экспериментально.

Границы применимости классической механики

В настоящее время известно три типа ситуаций, в которых классическая механика перестаёт отражать реальность.

• Свойства микромира не могут быть поняты в рамках классической механики. В частности, в сочетании с термодинамикой она порождает ряд противоречий. Адекватным языком для описания свойств атомов и субатомных частиц является квантовая механика. Переход от классической к квантовой механике — это не просто замена уравнений движения, а полная перестройка всей совокупности понятий (что такое физическая величина, наблюдаемое, процесс измерения и т. д.)

• При скоростях, близких к скорости света, классическая механика также перестаёт работать, и необходимо переходить к специальной теории относительности.

• Классическая механика становится неэффективной при рассмотрении систем с очень большим числом частиц (или же большим числом степеней свободы). В этом случае практически целесообразно переходить к статистической физике.

41.Волновая функция и её статистический смысл. Уравнениек Шредингера для стационарных состояний.Операторы физических величин.

Нем. физик Борн предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность , а величина, названная волновой функцией ( основной носитель информации об их крпускулярных и волновых свойствах)и обозначаемая ψ.Описание сотояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер : квадрат модуля волновой функции ( квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами x и x+dx,y и y+dy, z и z+dz. Физический смысл приписывается квадрату её модуля  , который интерпретируется как плотность вероятности   (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами   в момент времени  :

..

Уравнение Шредингера имеет вид( общее уравнение Ш., зависящее от времени) :

где m - масса частицы,   - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, D - оператор Лапласа ( )

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.) В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

Оператор координат:

Оператор импульса:

Оператор кинетической энергии: .

Оператор потенциальной энергии:

Оператор Гамильтона:

Оператор момента импульса: . Оператор спина.

42. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии.

 Потенциальная яма – ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает короткодействующим силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой. Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

1. Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях. где n = 1, 2, 3...

2. Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

3. Частица не может иметь энергию равную нулю.

4. Каждому значению энергии E_n соответствует собственная волновая функция ψ_n, описывающая данное состояние.

5. Для собственной функции ψ₁(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния ψ₂(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0 и так далее.

Принцип квантования энергии гласит, что любая система взаимодействующих частиц, способная образовывать стабильное состояние — будь то кусок твердого тела, молекула, атом или атомное ядро, — может сделать это только при определенных значения энергии

БИЛЕТ43) Потенциальная энергия взаимодейст¬вия электрона с ядром, обладающим за¬рядом 2е (для атома водорода Z=1),

U(r)=-Ze2/40r, (223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удов¬летворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

Е — полная энергия электрона в атоме

Энергия В теории дифференциаль¬ных уравнений доказывается, что уравне¬ния типа (223.2) имеют решения, только при собственных значениях энергии Решение уравне¬ния Шредингера для атома водорода при¬водит к появлению дискретных энергетиче¬ских уровней. Самый нижний уро¬вень Е1, отвечающий минимальной воз¬можной энергии,— основной, все осталь¬ные (En>E1 n=2, 3, ...) — возбужденные (см. §212). При E<0 движение электрона является связанным — он находится внут¬ри гиперболической «потенциальной ямы». По мере роста главного квантового числа n энергетиче¬ские уровни располагаются теснее и при n= E=0. При E>0 движение элек¬трона является свободным; область непре-рывного спектра £>0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Ei=-E1= те4/ (8h220)=13,55 эВ.

2. Квантовые числа. В квантовой ме¬ханике доказывается, что уравнению Шре¬дингера (223.2) удовлетворяют собствен¬ные функции nml(r, , ), определяемые

тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным ml.

Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1,2,3, ....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче¬ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь¬ным:

Le=h(l(l+1)), (223.4)

где l — орбитальное квантовое число, ко¬торое при заданном n принимает значения

l=0, 1, ..., (n-1), (223.5) ,т. е. всего n значений, и определяет мо¬мент импульса электрона в атоме.

магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо¬мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Lеz=hml, (223.6) ,где ml — магнитное квантовое число, кото¬рое при заданном l может принимать зна¬чения

ml=0, ±1, ±2, ..., ±l, (223.7) Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2l+1 подуровней. Расщепление энергетических уровней в магнитном поле- эффекта Зеемана.

Квантовые числа n и l характеризуют раз¬мер и форму электронного облака, а кван¬товое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве. l=0, называют s-состоянием, l=1 — р-состоянием, l=2 — d-состоянием, l=3 — f-состоянием и т.д.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и ml позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водоро¬да, полученный в теории Бора. Существуют прави¬ла отбора, ограничивающие число воз¬можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света:

1) изменение орби¬тального квантового числа l удовлетво¬ряет условию l=±1; (223.9)

2) изменение магнитного квантового чис¬ла ml удовлетворяет условию ml=0, ±1.

Переход электрона из основного со¬стояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происхо¬дить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения ато¬мом фотона.