8. Численные примеры и сравнение методов

Чтобы проиллюстрировать возможности трех разобран­ных нами методов численного интегрирования, а также сравнить их точность, рассмотрим следующий интеграл:

Для начала воспользуемся методом трапеций с довольно широким интервалом h=1.0. При этом

Метод Симпсона при h = 1.0 дает

При использовании метода Гаусса с двумя ординатами приходится вычислять следующее выражение:

где:

Подставляя численные значения, получаем

Повторяя эти же вычисления при h = 0.5 и при h = 0.25, а также при трех, четырех, пяти и шести точках в методе Гаусса, получаем результаты, приведенные в табл. 1.

Таблица 1

Правило трапеций	h	IT	Ε
	1,0	2,3484	0,0441
	0,5	2,3813	0,0112
	0,25	2,3898	0,0027
Правило Симпсона	h	IS	Ε
	1,0	2,3743	0,0182
	0,5	2,3923	0,0002
	0,25	2,3926	0,0001
Метод Гаусса	Число точек	IG	Ε
	2	2,0536	0,3389
	3	2,4471	—0,0546
	4	2,3859	0,0066
	5	2,3931	—0,0006
	6	2,3925	0,0000

Конечно, нельзя выводить сколько-нибудь общие заклю­чения из рассмотрения одного простого примера, но оказы­вается, что нижеследующие выводы имеют довольно общий характер.

1. Формула Симпсона при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула трапеций при 2n ординатах.

2. Метод Гаусса при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что и формула Симпсона при 2п орди­натах.

Хотя ни одно из этих утверждений не является совер­шенно точным, все же можно показать, что они приблизи­тельно справедливы.

3. Для достижения той же степени точности при исполь­зовании формулы Симпсона приходится производить при­мерно вдвое меньше вычислений, чем по формуле трапеций, которая требует вдвое большего количества ординат.

4. Для достижения той же степени точности при исполь­зовании метода Гаусса приходится производить примерно вдвое меньше вычислений, чем по формуле Симпсона бла­годаря вдвое меньшему количеству ординат.

При «ручных» вычислениях метод Гаусса несколько неудобен тем, что абсциссы заданы заранее и выражаются, как правило, такими числами, с которыми очень неудобно работать. Например, гораздо легче искать по таблицам e^-0.5, нежели e^-0.16667. Однако при использовании ЭЦВМ эти соображения не играют никакой роли.

Экономия времени при использовании метода Гаусса имеет свою оборотную сторону. Дело в том, что если при­ходится заново вычислять тот же интеграл с большим коли­чеством точек, то нельзя использовать ранее вычисленные ординаты, так как они находятся в неподходящих местах. В случае формулы Симпсона ранее вычисленные ординаты можно использовать снова (см. упражнение 14).

Для интегрирования при экспериментальных данных метод Гаусса можно использовать только тогда, когда абс­циссы заранее правильно расположены; это случается очень редко. Формулой Симпсона можно пользоваться при усло­вии, что интервалы разбиения одинаковы. Если же интер­валы разбиения случайны, то для интегрирования можно применить лишь формулу трапеций. Формула Симпсона обеспечивает достаточную точность при умеренном количе­стве ординат, проста и удобна, так как позволяет легко измельчать разбиение интервала и заново вычислять интег­рал. Поэтому неудивительно, что она получила широкое распространение в практических вычислениях.