Упражнения

1. Вычислите точное значение интеграла , а также приближенные значения по формуле трапеций при h = 1.0 и по формуле Симпсона с h = 1.0. В качестве f(x) возьмите следую­щие функции:

2. Дайте доказательство и геометрическое истолкование следующего факта: если в интервале а<=x<=b f"(x)>0, то приближенное значение интеграла , вычисленное по формуле трапеций, будет всегда больше, нежели его точное значение. (Гово­рят, что подобные функции f(x) направлены выпуклостью книзу.)

3. Рассмотрим интеграл . Покажите, что формула Симпсона с h = 1 и метод Гаусса с двумя ординатами позволяют вычислить точное значение интеграла, хотя при исполь­зовании метода Гаусса требуется одной ординатой меньше по сравнению с формулой Симпсона.

4. Рассмотрим интеграл . Покажите, что приближенное значение, вычисленное по формуле Симпсона при h = 0.5, поразительно близко к истинному значению (с точностью примерно 1/3000). Объясните «качественно», почему получается такое близкое совпадение.

5. В противоположность упражнению 4, рассмотрим часто встречающийся интеграл . Ниже приведены приближенные значения интеграла, вычисленные по формуле Симпсона при трех различных разбиениях, а также ошибки для каждого случая. Объясните разницу между результатами этого и предыдущего упражнения.

N	h	IS	Ошибка
2	0.45	3.3500	-1.0474
4	0.225	2.4079	-0.1053
8	0.1125	2.3206	-0.0180

6. Примените экстраполяционный перевод к пределу, чтобы найти лучшее приближение к точному значению интеграла . Используйте две последние строки предыдущей таблицы. По виду уравнения (18) можно было бы предположить, что окончательный результат будет точным. Почему это не так?

7. Полный эллиптический интеграл первого рода определяется формулой

Вычислите K(30°), воспользовавшись формулой Симпсона с четырьмя отрезками. Точный результат до четвертого знака после запятой равен 1.6858. Вычислите также К(85°), снова воспользо­вавшись формулой Симпсона с четырьмя отрезками. На этот раз точный результат до третьего знака после запятой равен 3.832. Поче­му К(85°) получилось с такой большой ошибкой, в то время как К(30°) было вычислено довольно точно?

8. Рассмотрим следующий интеграл⁴

Напишите программу для вычисления этого интеграла по фор­муле Симпсона. Программу составьте так, чтобы значение шага разбиения h можно было вводить с перфокарты. Вычислите зна­чение интеграла при h=0.25, затем 0.1, 0.05, 0.02 и 0.01. Объясните несколько неожиданное поведение окончательного результата при уменьшении h. (Заметим, что объяснить поведение окончатель­ного результата, возможно, будет легче, если предусмотреть в про­грамме печать ординат функции.)

9.* Рассмотрим интеграл

Вычислите этот интеграл с помощью:

а. Метода Гаусса с 6 точками;

б. Правила трапеций с 10 отрезками;

в. Правила Симпсона с 10 отрезками;

г. Правила прямоугольников из упражнения 18 с 10 отрезками. Сравните результаты вычислений. В какую сторону лучше дви­гаться при интегрировании: от 0 к 10 или от 10 к 0? Почему?

10.* Напишите программу вычислений из упражнения 9.

11. Обобщите программу из упражнения 10 для формулы Симп­сона так, чтобы в нее можно было ввести значения a, b и n и вычислить требуемое значение h.

12. К программе из упражнения 11 добавьте проверку, являет­ся ли n четным. При нечетном n вычисление интеграла производить не следует. (Указание: при делении целых чисел дробная часть результата отбрасывается; если N является нечетным, то (N/2)*2 не равно N.)

13. Усовершенствуйте программу, приведенную на рис. 7, так, чтобы при ее работе вычислялись и печатались значения све­тимости, полученные по формуле трапеций и по формуле Симпсона. Ординаты должны быть вычислены только один раз.

14. Предположите, что вычисления по программе, приведенной на рис. 7, уже закончены и теперь необходимо вычислить тот же интеграл, но для вдвое более мелкого разбиения. Все ординаты, рассчитанные ранее и просуммированные в ячейках SUM4 и SUM2, понадобятся при новом вычислении интеграла, так как это как раз те ординаты, сумму которых необходимо умножить на 2. Кроме того, придется рассчитать ординаты в центрах каждого из отрезков пре­дыдущего разбиения. Видоизмените программу таким образом, чтобы после вычисления интеграла с разбиением, определяемым величина­ми А, В и N, те же расчеты повторились с удвоенным количеством точек; при этом ни одна ордината не должна вычисляться дважды. Имея два приближенных значения интеграла, используйте экстра­поляционный переход к пределу, чтобы получить еще более точное значение.

15. Напишите программу, которая предусматривала бы ввод значений a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ и a₆ и значений a, b и n, вычисление и печать значения интеграла . Для вычислений используйте метод Симпсона с n отрезками.

16. Видоизмените программу, приведенную на рис. 7, пре­дусмотрев в ней определение максимума светимости, если он, мак­симум, попадает в заданную для вычислений область температур. Если существуют такие три последовательных значения температуры, что EFF (T₁) < EFF (T₂) > EFF (T₃), то необходимо их напечатать вместе с соответствующими светимостями. Если три таких значения найти не удается, то вместо всех этих шести величин необходимо напечатать нули.

17. Предположите, что заданы три значения x = -h, 0 и h и три соответствующих значения у = у₀, y₁ и y₂. Подставьте эти три пары значений в общее уравнение параболы у=а+bх+сх2 и решите три получившихся уравнения относительно а, b и с. Используя вычисленные таким образом a, b и c, проинтегрируйте уравнение параболы в пределах от —h до h и покажите, что результат будет равен

Таким способом обычно выводится формула Симпсона для численного интегрирования в учебниках по математическому ана­лизу.

18. Выведите формулу численного интегрирования для разделив интервал интегрирования на n равных отрезков длиной . В качестве приближенного значения площади для каждого интер­вала примите площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на левом краю интервала (см. схему).

19. Покажите, что ошибка ограничения для формулы, выведен­ной в упражнении 18, равна где .

20. Примените экстраполяционный переход к пределу, чтобы с помощью формулы численного интегрирования, выведенной в упражнении 18, и формулы ошибки ограничения, выведенной в упражнении 19, получить новую формулу численного интегрирования.

где

Объясните формулу геометрически.

21. Ошибка ограничения при численном интегрировании по формуле из упражнения 20 равна

Сравните ее с ошибкой ограничения при интегрировании по фор­муле трапеций. Объясните, почему эти ошибки имеют одинаковый порядок.

22. Покажите, что формула численного интегрирования по ме­тоду Гаусса, которая дает точный результат только для линейной функции, имеет следующий вид:

23. Предположим, что при интегрировании с помощью метода трапеций n=3m, т. е. количество отрезков разбиения кратно 3. Напишите формулы численного интегрирования по формуле трапе­ций для случая, когда длина отрезка разбиения равна A, и для случая, когда она равна k=3h. Используйте экстраполяционный переход к пределу и выведите новую формулу численного интегри­рования

Эта формула иногда называется правилом трех восьмых. Ее можно было бы вывести, приближая интеграл от исходной функции на трех соседних отрезках интегралом от кубической параболы, проведенной через четыре последовательные ординаты.

Ошибка ограничения для этой формулы имеет вид

Сравните ее с ошибкой ограничения при интегрировании по пра­вилу Симпсона. Обладает ли формула трех восьмых какими-нибудь преимуществами перед формулой Симпсона?

24. Предположим, что при интегрировании по формуле Симп­сона n = 4m. Напишите формулы численного интегрирования по правилу Симпсона для случаев, когда величина отрезка разбие­ния равна h и k = 2h. Используйте экстраполяционный переход к пределу для вывода формулы

Это четвертая формула Ньютона—Котеса (первыми тремя являются формула трапеций, формула Симпсона и формула трех восьмых). Соответствующая ошибка ограничения записывается в виде

25. Рассмотрим несобственный интеграл , где f(x) представляется в виде . Покажите, что если φ(x) является многочленом степени не выше 3, то I можно точно вычислить по формуле где

Это формула Лагерра—Гаусса второго порядка. Названием своим она обязана тому факту, что х₀ и x₁ являются корнями поли­нома Лагерра второго порядка.

Читателям, интересующимся общим выводом и таблицами абс­цисс и весовых коэффициентов для формул Лагерра—Гаусса более высоких порядков, рекомендуем книги Гильдебранда (разд. 6).

26. Покажите, что если f(x) является многочленом степени не выше 3, то

(Указание: заменой переменных сведите задачу к виду, расс­мотренному в упр. 25)

27. Рассмотрим несобственный интеграл , где f(x) представляется в виде . Покажите, что если φ(х) является многочленом степени не выше 3, то точное значение интеграла можно вычислить по формуле .

Это формула Эрмита — Гаусса второго порядка. Своим наз­ванием она обязана тому факту, что абсциссы, где вычисляется φ, являются корнями полинома Эрмита второго порядка. Более подробные сведения можно найти в книгах Гильдебранда.

Указание: вспомните, что .

28. Используйте дважды метод трапеций и выведите формулу

где

С помощью этой формулы можно производить вычисление двойных интегралов в прямоугольной области. Можно получить и другие формулы для вычисления двойных интегралов, применяя дважды соответствующие правила численного интегрирования (например, правило Симпсона).

29*. Инженер желает получить «наилучший» средний отсчет измерительного прибора на протяжении часа. Через сколько минут после начала измерений необходимо снимать показания прибора, если

на протяжении часа можно снять два отсчета;

на протяжении часа можно снять три отсчета;

на протяжении часа можно снять четыре отсчета.

Ответ следует округлить до ближайшего целого.

30. Предположим, что имеются экспериментальные результаты, согласно которым y является некоторой (неизвестной) функцией от x.

x	y	x	y
1.0	1.00	2.2	5.12
1.2	1.82	2.4	6.38
1.4	2.08	2.6	6.98
1.6	3.18	2.8	8.22
1.8	3.52	3.0	9.00
2.0	4.70

Вычислите приближенное значение интеграла , воспользовавшись следующими методами:

а. Правилом трапеций,

б. Формулой Симпсона,

в. Правилом трапеций для интервалов от 1.0 до 1.2 и от 2.8 до 3.0 и формулой Симпсона для интервала от 1.2 до 2.8.

Если о характере зависимости у от x больше ничего неизвестно, можно ли сказать, какой результат является «наиболее точным»? 31. Имеются некоторые экспериментальные данные, согласно которым y является некоторой (неизвестной) функцией от х.

x	y	X	Y
20	0.21	100	0.43
25	0.30	120	0.37
30	0.37	140	0.33
40	0.45	160	0.29
50	0.49	180	0.25
60	0.50	200	0.19
70	0.49	250	0.13
80	0.47	300	0.08
90	0.45	400	0.04

Вычислите приближенное значение интеграла , воспользовавшись формулой трапеции.

1 Интересующимся читателям рекомендуются книги Alt F., Electronic digital computers, Academic Press, New York, 1958, p. 203—205; Коpa1 Z., Numerical Analysis, Wiley, New York, 1961, p. 370—386.

2 Richardson L. F., Gaunt J. A., The deferred approach to the limit, Trans. Roy. Soc. London, 226 A, 300 (1927).

3 См., гл. 3 книги Гильдебранда: Нildebгаnd F. В., Introduction to numerical analysis, McGraw-Hill, 1956

4 Scarborough J. В., Numerical mathematical analysis, The Johns Hopkins Press, 1950.