9. Практический пример 8: светимость электрической лампочки

В этом практическом примере будут использованы опи­санные методы численного интегрирования, а также проил­люстрированы некоторые полезные приемы программирова­ния.

Абсолютно черное тело (идеальный излучатель) излучает энергию пропорционально четвертой степени абсолютной температуры. Этот процесс описывается уравнением Стефа­на — Больцмана

где

Е—мощность излучения вт/см²,

Т — температура в градусах Кельвина. Нас интересует та часть общей энергии, которая заклю­чена в видимом спектре частот. Здесь мы предположим, что видимый спектр соответствует длинам волн от 4*10^-5 до 7*10^-5 см. Эту часть энергии можно найти, интегрируя между вышеуказанными пределами уравнение Планка

где х — длина волны в см.

Е и Т означают то же, что и в предыдущей формуле.

Светимостью мы назовем отношение энергии, заключен­ной в видимом спектре, к общей энергии излучения. Если умножить это отношение на 100, чтобы получить окончатель­ный результат в процентах и перемножить коэффициенты, то задача сведется к вычислению интеграла

Необходимо написать программу, с помощью которой можно было бы вычислить EFF для некоторой последова­тельности температур, начиная с начальной температуры TEMPI до конечной ТЕМР2 с шагом TMPINC. С перфокарт необходимо также считывать границы видимого спектра A и B, чтобы эти величины тоже можно было при желании варьировать. Число отрезков разбиения при интегрирова­нии задается с помощью целой переменной N, значение которой также следует прочитать с перфокарты. Ниже мы вернемся к вопросу о том, как велико должно быть N для достижения достаточной точности.

Блок-схема программы изображена на рис. 6. Работа программы начинается с ввода шести исходных значений, после чего производятся два действия, которые в дальней­шем не повторяются: вычисляется H - интервал разбие­ния, а переменной Т присваивается исходное значение ТЕМП1. После этого начинается собственно интегрирова­ние. В программе предусмотрено вычисление двух сумм при интегрировании. Первая из них, обозначаемая SUM4, представляет собой сумму тех ординат, перед которыми в формуле Симпсона стоит коэффициент 4; вторая, обозна­чаемая SUM2, является суммой ординате коэффициентом 2. Поскольку по ходу программы потребуется вычислять зна­чение подынтегральной функции в первой внутренней точ­ке X + Н (это значение будет прибавлено к SUM4) и во второй внутренней точке (это значение будет прибав­лено к SUM2), то переменной X присваивается соответст­вующее начальное значение.

Теперь мы сталкиваемся с некоторой трудностью. Для вычисления сумм необходимо пройти все внутренние значе­ния X и затем остановиться. Если определять окончание цикла, сравнивая X и В — Н, т. е. проверять, находится ли X внутри интервала интегрирования, то возникают два неприятных обстоятельства. Во-первых, в формуле Симпсо­на количество ординат с коэффициентом 4 на единицу боль­ше, нежели с коэффициентом 2. Поэтому нам придется остановиться, не доходя до конца интервала интегрирова­ния, и прибавить к сумме значение ординаты в последней внутренней точке уже после окончания цикла. Во-вторых, если присвоить X исходное значение A + H и многократно прибавлять по 2Н, то ошибки округления будут накапли­ваться и в общем случае нам не удастся получить точное равенство X и B — 3Н.

Одно из возможных решений заключается в подсчете количества пройденных внутренних точек с помощью целой переменной I. Перед началом цикла интегрирования пере­менной I присваивается значение 1. (Легко определить зна­чение I, при достижении которого следует выйти из цикла.) Таким образом, мы вычисляем подынтегральную функ­цию для двух очередных внутренних точек, прибавляем эти значения к соответствующим суммам и проверяем, не пора ли окончить цикл. Если нет, то мы увеличиваем

Рис. 6. Блок-схема программы для вычисления светимости. Интегрирование производится по формуле Симпсона (практический пример 8).

I и X и повторяем вычисления для следующей пары внутрен­них точек. Если цикл окончился, то необходимо перейти к вычислению EFF. В момент окончания цикла значение переменной SUM 4 равно сумме всех значений ординат, которые необходимо умножить на 4, за исключением орди­наты в точке В — Н, которая должна быть вычислена дополнительно. Значение переменной SUM 2 равно сумме всех значений ординат, которые необходимо умножить на 2. Кроме того, остается добавить значения ординат в точках А и В. Таким образом, вычисление величины EFF производится с помощью длинного арифметического опера­тора, где вычисляются ординаты для А, В и В — Н, про­изводятся умножения на 4 и на 2, а также на величину Н/3 и на 64.77/Т⁴.

После печатания результатов Т увеличивается на вели­чину TEMPING и сравнивается с TEMP 2. Если новое значе­ние не превосходит TEMP 2, т. е. если вычисления произ­ведены еще не для всех температур, то мы снова переходим к вычислению интеграла. Если же светимость уже вычисле­на для наивысшей из заданных температур, то вычисления нужно прекратить.

Сама программа приведена на рис. 7. Предоставляем читателям самим внимательно прочесть ее, чтобы убедиться, что она в самом деле производит вычисления, графически изображенные на блок-схеме.

Рис. 6.7. Программа для вычисления светимости. Интегрирование производится по формуле Симпсона (практический пример 8).

Ошибку ограничения можно было бы оценить по ее верх­ней границе (см. разд. 6), но практически это вычисление требует гораздо больше труда, чем стоит затрачивать в дан­ном случае. Во-первых, нужно было бы найти четвертую производную от

что само по себе является довольно трудоемкой задачей, хотя и вполне осуществимо. 3aтем нужно было бы каким-нибудь образом определить, где эта четвертая производная имеет максимум.

Гораздо удобнее воспользоваться помощью самой ЭЦВМ. Аналогично (18) в случае правила трапеций, следующая формула описывает экстраполяционный переход к пределу для формулы Симпсона

Это означает, что если, например, вычислить интеграл сначала при N = 10, а затем при N = 20, то можно оценить истинное значение интеграла. Кроме того, из величины разности между двумя значениями интеграла можно решить, каково должно быть N для достижения приемлемой точности результата.

Такие вычисления были проделаны по этой программе для Т = 3500° К. При 10 отрезках, вычисленное значение светимости было равно 14.512723%, а при 20 отрезках — 14.512664%. Разница двух значений настолько мала, что мы немедленно прекращаем дальнейшую погоню за точ­ностью.

Рис. 6.8. Зависимость светимости от температуры (°К) для черного тела (практический пример 8).

Наконец, хотя это уже и не имеет прямого отношения к численному анализу, интересно построить график зависи­мости светимости от температуры, как показано на рис. 6.8. Из графика следует, что видимая часть общей энергии пренебрежимо мала при температурах, меньших 2000° C, что при температуре плавления вольфрама (3600° К) толь­ко около 15% общей энергии излучения находится в видимой области спектра и что кривая имеет широкий максимум около 7000° К. Соображения этого рода определяют верх­ний предел коэффициента полезного действия осветитель­ных ламп накаливания. Интересно было бы также сделать некоторые предположения, относящиеся, например, к стои­мости электроэнергии, времени жизни нити накаливания в зависимости от температуры и стоимости лампочки, и вычислить температуру, при которой «полная стоимость» света, включая электроэнергию и лампочку, была бы мини­мальной.