3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить n₁, n₂,…,n_k единиц продукции Р₁, Р₂,…,Р_к. Продукция производится на станках S₁, S₂,…,S_m. Для каждого станка известны

- производительность a_ij (т.е. число единиц продукции Р_j, которое можно произвести на станке S_i) ;

- затраты b_ij на изготовление продукции P_j на станке S_i в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим

x_ij – время, в течение которого станок S_i будет занят изготовлением продукции P_j (I=1,2,…,m; j=1,2,…k).

Т.к. время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы неравенства: (8)

Для выполнения плана выпуска необходимо выполнение следующих равенств:

(9)

кроме того x_ij  0, (i=1,2,,m; j=1,2,  ,k). (10)

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией

F=b₁₁x₁₁+b₁₂x₁₂+…+b_mkx_mk (11)

Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей примет вид: найти такое решение Х=(x₁₁,x₁₂,…,x_mk), удовлетворяющее системам (8) и (9) и условию (10), при котором функция (11) принимает минимальное значение.

4. Задача о раскрое материалов

Разрабатываются варианты возможного раскроя материала заданного размера на произвольные комбинации конкретных заготовок, подлежащих изготовлению из этого материала. На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве а единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b₁, b₂,…,b_l (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го способа (i=1,2,…,n) дает a_ik единиц k-го изделия (k=1,2,…,l). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим x_i - число единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и x – число изготавливаемых комплектов изделий.

Т.к. общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

(12)

Требование комплектности выразится уравнениями

(k=1,2,…,l). (13)

Очевидно, что x_i0 (I=1,2,…,n). (14)

Экономико-математическая модель задачи: найти такое решение Х=(x₁,x₂,…,x_n), удовлетворяющее системе уравнений (12) и (13) и условию (14), при котором функция F=x принимает максимальное значение.

Задачу о раскрое легко обобщить на случай m раскраиваемых материалов. Пусть каждая единица j-го материала (j=1,2,…,m) может быть раскроена n различными способами, причем использование I-го способа(I=1,2,…,n) даетa_ijk единиц k-го изделия (к=1,2,…,l), а запас j-го материала равен a_j единиц. Обозначим x_ij - число единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом.

Экономико-математическая модель задачи о раскрое в общем виде: найти такое решение Х=(x₁₁,x₁₂,…,x_nm), удовлетворяющее системе

и условию x_ij0, при котором функция F=x принимает максимальное значение.