2.1 Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания

Расчёт вручную

Решением дифференциального уравнения будет являться сумма общего и частного решений:

Найдем Y_общ(t):

Найдем Y_част(t):

Подставим:

Найдем постоянную С:

Y(0)=Y₀

тогда

;

Подставим С:

По таблице при t = 0, Y(0) = 0, тогда:

, откуда и получим:

Где  установившееся значение, в нашем случае Y_уст = Y_max.

Найдем постоянную времени Т методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение:

Обозначим

Рассчитаем для каждого момента времени t_i и занесем в таблицу 6.

Таблица 6 - Значения

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	0.9	0.5	0.3	0.18	0.09	0.025	0.01	0

Далее составляем систему алгебраических уравнений:

В систему не вошло уравнение для момента времени t₉, так как ln0 не определен, и для момента времени t=0, так как в них . Составляем матричное уравнение для:

Составим матрицы:

Находим произведение :

Находим произведение :

Окончательно найдем T:

Рисунок 3 – График динамической модели объекта 1-го порядка без запаздывания

2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием

Расчёт вручную

Системой с запаздыванием называется система, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину .

Объект первого порядка с запаздыванием можно описать уравнением вида:

Запишем решение дифференциального уравнения:

где

Найдем постоянную времени Т и время запаздывания методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение :

где , значение (таблица 6).

Составим систему алгебраических уравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объекта в эксперименте, кроме точек , так как в них , а также точки и , так как в этой точке не существует:

Составим матричное уравнение для решения системы:

где

.

Составим матрицы L и t:

Найдем произведение :

Найдем произведение :

Найдем главный определитель:

Находим вспомогательные определители и , подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбцы матрицы соответственно:

Находим Т и :

Расчёт в системе MathCAD

- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;

- время запаздывания;

- постоянная времени;

Рисунок 4 – График динамической модели объекта 1-го порядка с запаздыванием

Таблицы исходных данных и результатов: