2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания

Рисунок 5 – График динамической модели объекта 2-го порядка без запаздывания

Таблицы исходных данных и результатов:

2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием

- длина вектора данных;

- задание границ адекватности исходных данных предполагаемой модели по значениям y1;

- нелинейное уравнение;

- решение нелинейного уравнения;

- вектор правых частей;

- вектор коэффициентов системы уравнений;

- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;

- время запаздывания

- постоянная времени;

Рисунок 6 – График динамической модели объекта 2-го порядка с запаздыванием

Таблицы исходных данных и результатов:

Таким образом, в результате расчета из четырёх моделей объекта выбрана модель второго порядка c запаздыванием, так как она наиболее точно отражает протекание переходных процессов и обеспечивает заданное качество регулирования. Это видно из расчетов, у этой модели сумма квадратов отклонений имеет наименьшее значение, чем у остальных объектов и также это видно из кривой переходного процесса.

3 Математическая модель объекта

3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальных уравнений

Пусть имеем передаточную функцию в виде степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме. В таком виде обычно формируется математическая модель объекта по результатам исследования. Передаточная функция представляет собой отношение выходной величины к входной величине, и она выбирается по минимальному среднеквадратическому отклонению от экспериментальных данных динамических характеристик. В нашем случае это передаточная функция динамической характеристики второго порядка с запаздыванием:

Где:

Разложим звено запаздывания в степенной ряд в виде отношения полиномов:

Тогда перемножая, получим:

Получили дифференциальное уравнение. Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений методом формального интегрирования.

Получили нормальную систему дифференциальных уравнений, разрешённую относительно первой производной:

Неизвестную величину найдём из соотношения:

Где k  коэффициент передачи при 50% мощности от номинального режима;

 максимальное значение экспериментальных данных.

Подставив в полученную систему получим:

В результате решения получается матрица чисел, содержащая столбец точек независимой переменной (в нашем случае - времени) и столбцы соответствующих значений функций, определенных системой уравнений и вычисленных в этих точках.

3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге – Кутта, с постоянным шагом

- Вектор начальных условий;

- Количество точек;

- Вектор правых частей исходной системы дифференциальных уравнений в нормальной форме;

- Обращение к процедуре rkfixed

Выходная величина, ед.

Время, с

Рисунок 7 - График переходного процесса

На рисунке: – исходные данные; Y(t1) – полином второго порядка с запаздыванием.