1.2.2 Операции с силами в пространственной (трехмерной) статике

Проекция силы на плоскость

Рис.1.16

Проекцией силы на плоскость 0xy называется вектор _XY, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость является векторной величиной и характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости 0xy (рис.16).

По модулю F_XY= F·cos, где  - угол между векторами и _XY.

Проекция силы на плоскость используется, например, для нахождения проекций силы на оси, лежащие в этой плоскости (см. Рис.1.16):

FX= FXY· cos = F·cos cos; FY = FXY· sin = F·cos · sin; FZ= F·sin.

(1.12)

Здесь же написана формула и для проекции силы на ось 0z.

Векторный момент силы

Определим радиус - вектор как вектор, соединяющий начало координат (т. О) и некую точку в пространстве, например, точку приложения силы (т.А).

Рис.1.17

Векторный момент силы есть векторное произведение радиус – вектора точки приложения силы на вектор силы.

0( ) r  F.

(1.13)

Модуль (величина) векторного момента силы определяется выражением:

 0( )= M0(F) = = F h,

(1.14)

или равен произведению модуля силы F на её плечо h, равное расстоянию от точки 0 до линии действия силы. Здесь:

• h = ОС - плечо силы - длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы ;

• - угол между векторами и .

Вектор ₀( ) направлен в соответствии с правилом векторного произведения, или правилом «правого винта».

Правило правого винта:

Первый по упоминанию вектор ( ) кратчайшим путем поворачивают в сторону второго ( ), задавая тем самым плоскость и направление вращения головки правого винта; вектор векторного произведения ( ₀( )) ориентирован по направлению перемещения тела правого винта перпендикулярно плоскости его вращения.

Вектор ₀ считается приложенным к точке 0 и перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ, в которой лежат векторы и . При этом он направлен в сторону, с которой кратчайший поворот (на угол, меньший 180°) вектора к вектору (если его мысленно приложить к точке 0; см. рис.1.17) виден происходящим против хода часовой стрелки, то есть по правилу правого винта.

Модуль момента равен произведению модуля силы F на её плечо h, равное расстоянию от точки 0 до линии действия силы:

M0( ) = F·h

(1.15)

Момент силы измеряется в системе единиц СИ в ньютон - метрах (Н·м).

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль её линии действия.

Момент силы относительно точки 0 равен нулю (M₀( ) = 0), если:

• сила равна нулю (F = 0);

• линия действия силы проходит через точку 0 (плечо h = 0).

Рис.1.18

Векторный момент силы можно описать с помощью аппарата векторной алгебры, в соответствии с которым силу необходимо задать своими проекциями F_X, F_Y, F_Z на оси координат и указать координаты x,y,z точки приложения этой силы (т.А). Векторный момент силы относительно начала координат 0 определяется аналитически следующим образом:

0( )= =MX ( )· +MY ( ) · + MZ ( )· ,

(1.16)

где , , - орты координатных осей 0x, 0y, 0z, а проекции момента ₀( ) (рис.1.18) вычисляются по следующим формулам:

MX ( ) = y FZ - z FY, MY ( ) = z FX - x FZ, MZ ( ) = x FY - y FX.

(1.17)

Замечание: Проекции M_X( ), M_Y( ), M_Z( ) по определению – это моменты сил относительно координатных осей 0x, 0y, 0z (или осевые моменты).

Модуль M₀( ) векторного момента вычисляется по формуле:

M0 ( ) = .

(1.18)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Определите, что такое векторный момент силы?

2. Сформулируйте правило правого винта.

3. Как определяется осевые моменты силы?

Осевой момент силы

Рис.1.19

Моментом силы относительно оси, или осевым моментом силы называется скалярная величина, равная проекции на эту ось векторного момента силы.

Из этого определения следует, что аналитическое вычисление моментов силы относительно координатных осей 0x, 0y, 0z можно выполнять по формулам расчета проекций векторного момента этой силы.

Момент силы относительно оси может определяться геометрически (рис.1.19).

Сформулируем, опустив доказательство, этот метод оценки осевого момента силы:

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Например, для оси 0z:

MZ ( ) = ± FXYh

(1.19)

Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело против хода часовой стрелки, глядя с положительного направления оси.

Например, момент силы на рис.19 относительно оси 0z равен произведению модуля её проекции | _XY| на плоскость 0xy на плечо h этой проекции относительно точки 0, взятое со знаком плюс: M_Z ( ) = + F_XYh.

Осевой момент силы равен нулю (M_Z ( ) = 0), если:

• сила параллельна оси (равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси F_XY = 0);

• линия действия силы пересекает ось (линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, также пересекает эту ось и плечо этой проекции равно нулю: h = 0).

Объединяя эти два случая, можно сказать: осевой момент силы равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как оценивается величина осевого момента силы?

2. Как определяется знак осевого момента силы?

3. Величина h – это расстояние между линией действия силы и осью?

Векторный момент пары сил

Рис.1.20

Момент пары сил (обозначается M(F,F’) ) - определяется как векторный момент одной силы пары относительно точки приложения другой:

= .

(1.20)

В соответствии с определением операции векторного произведения вектор момента пары ориентирован перпендикулярно плоскости действия пары. Учитывая, что _, и используя правило правого винта, легко увидеть (рис.1.20), что оба приведенные в определяющей формуле векторных произведения приводят к одному и тому же результату. Момент пары сил направлен ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, в соответствии с правилом правого винта, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки. Его модуль:

M = F·d,

(1.21)

где d - плечо пары, равен по величине площади параллелограмма, построенного на векторах пары.

Пара сил полностью характеризуется своим моментом.

Так же, как и в плоской статике, в пространственной статике действует теорема о сумме моментов сил пары.

Теорема о сумме моментов сил пары

Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, не зависит от выбора центра и равна векторному моменту пары.

0( ) + 0 ( ′) = ( , ′).

(1.22)

Докажем эту теорему.

Формально выбрав в пространстве некую точку (центр 0), подсчитаем сумму моментов сил пары, изображенной, например, на рисунке 20 (точка 0 не показана). Учтем при этом, что и ,

тогда:

₀( ) + ₀( ') = =

что и требовалось доказать.

Следствие

Пары сил могут быть перемещены в любое место абсолютно твердого тела, при этом оказываемый ими вращательный эффект на тело не изменится.

Это следствие вытекает из независимости полученной оценки от выбора центра, а это означает и справедливость обратного утверждения, т.е. независимость результата от местонахождения самой пары.

Другая формулировка этого же следствия:

Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, т.е. является свободным вектором.

Приведем без доказательств еще несколько утверждений и теорем эквивалентности пар:

• Пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.

• Пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости пары.

• Пары сил можно складывать, при этом моменты пар сил складываются по правилу сложения векторов.

• Силы пары можно изменять обратно пропорционально плечам пары.

• Силы пары можно синхронно поворачивать, одновременно меняя их величину так, чтобы момент оставался неизменным.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Куда направлен векторный момент пары сил?

2. Момент пары сил – свободный вектор. Что это означает?

3. Чему равен модуль векторного момента пары?

Связи и их реакции

В отличие от свободных тел, в природе чаще встречаются несвободные точки и тела, перемещения которых в некоторых направлениях пространства ограничены другими объектами. Тела, ограничивающие свободу перемещения данной точки или тела, называются связями, наложенным на данную точку или тело. Несвободные материальные тела, нагруженные силами, действуют на связи силами, стремящимися эти связи преодолеть. Эти силы носят общее название - силы давления на связь. В соответствии с аксиомой статики о равенстве действия и противодействия, связи противодействуют телу. Силы, с которыми связи действуют на рассматриваемый объект, называются реакциями связей, которые приложены к объекту в точке его соприкосновения со связью. Направление реакции связи противоположно тому, куда связь не дает перемещаться объекту.

Сформулируем еще раз основные определения, касающиеся связей.

Связи – всë, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве.

Реакция связи – сила, с которой данная связь действует на тело.

Аксиома связей: Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей.

Следствие из аксиомы связей: Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями.

Рассмотрим основные виды часто встречающихся связей

Рис.1.21

1. Гладкая опора. Это простой контакт тела с поверхностью, трением о которую можно пренебречь. Такая связь (рис.1.21) препятствует перемещению объекта только вдоль нормали к поверхности. Поэтому, реакция такой связи перпендикулярна поверхности и носит название „нормальная реакция опоры”.

2. Невесомая нерастяжимая нить (трос, канат), (рис.1.22). Эта связь не дает перемещаться телу вдоль нити. Её реакция приложена к телу, направлена вдоль нити к точке подвеса 0 и носит название „сила натяжения нити”.

Рис.1.22

3. Цилиндрический шарнир, или подшипник (рис.1.23).

Рис.1.23

Цилиндрический шарнир - это устройство, запрещающее перемещение точек тела, принадлежащих оси шарнира и позволяющее осуществлять относительное вращение соединенных с его помощью тел в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Реакция шарнира направлена в этой плоскости, т.е. перпендикулярна оси шарнира и имеет две ортогональные составляющие X_A, Y_A. Математически её можно оценить по формуле:

.

(1.23)

4. Сферический шарнир (рис.1.24). Такая связь допускает вращение тела в любом направлении в пространстве, но запрещает перемещение точки закрепления тела. Реакция может быть направлена в любую сторону и имеет три ортогональные составляющие X_A, Y_A, Z_A. Величина силы оценивается аналогично:

.

(1.24)

Рис.1.24

5. Невесомый шарнирно опертый стержень (рис.1.25). На стержень действуют лишь две реакции в шарнирах, приложенные к его концам. В покоящейся, уравновешенной системе, в соответствии с аксиомой статики, эти силы равны, противоположны и направлены по одной прямой, т.е. линии, соединяющей концы стержня при любой его форме:

_D = - _B

Рис.1.25

6. Плоская заделка, или консоль. Это - балка с замурованным в стену концом, или гвоздь, вбитый в стену (рис.1.26). В заделке отсутствуют все перемещения, что обеспечивается силой реакции (исключает линейные перемещения) и реактивным моментом (исключает угловые перемещения). Рассматривая плоской систему сил, в заделке возникает пара сил с моментом М_А, препятствующая повороту балки и реакция с двумя ортогональными составляющими . Таким образом, в плоской консоли возникает два компонента реакции: силовой с двумя составляющими X_A,Y_A и моментный M_A. Величина реакции определяется стандартно:

.

(1.25)

Рис.1.26

7. Подпятник (рис.1.27) – отличается от цилиндрического шарнира отсутствием возможности перемещения вдоль оси шарнира. Примером шарнира с подпятником может служить дверная или оконная петля. Такое ограничение приводит к появлению третьей составляющей реакции по оси 0Z.

Рис.1.27

Реакция в подпятнике вычисляется по правилу геометрического сложения ортогональных векторных компонент:

.

(1.26)

8. Подвижная шарнирная опора (рис.1.28).

Такая связь полностью идентична гладкой опоре. Линия действия реакции перпендикулярна опорной поверхности.

Рис.1.28

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Реакция связи приложена к телу или к связи?

2. Перечислите основные типы связей

3. Сколько компонент реакции имеет каждый тип связей и куда они направлены?