1.3.3 Замена распределенных сил эквивалентными сосредоточенными

В задачах встречаются системы параллельных сил, распределенных по некоторому закону вдоль прямолинейного стержня (рис.1.33).

Рис.1.33

Такие распределенные силы характеризуются интенсивностью q, равной величине силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка (например, погонный вес балки как элемента строительной конструкции). В общем случае интенсивность является некоторой функцией q(x) координаты x, отсчитываемой вдоль нагруженного отрезка.

Интенсивность измеряется в системе единиц СИ в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

Рис.1.34

Рассмотрим систему параллельных сил, распределенных по произвольному закону q(x) вдоль прямолинейного отрезка длиной a и направленных

перпендикулярно этому отрезку (рис.1.33).

Величина главного вектора и главный алгебраический момент M_O относительно центра (т. О) определяются суммированием (интегрированием) элементарных бесконечно малых сил q(x)·dx моментов x·q(x)·dx по всей длине нагруженного участка:

.

Если приложить главный вектор в точке стержня, удаленной от О на расстоянии (рис.1.34), то его момент относительно т.О станет равным главному алгебраическому моменту М₀. Это означает, что приложенный в этой точке один вектор * определяет такой же главный вектор и главный алгебраический момент системы. Таким образом, системы эквивалентны. Следовательно, приложенный в этой точке главный вектор * является равнодействующей силой, или, как принято говорить, сосредоточенной силой, эквивалентной исходной распределенной нагрузке.

Итак, формулы для оценки эквивалентной сосредоточенной силы и точки её приложения:

(1.36)

Воспользуемся полученными формулами для двух часто встречающихся случаев: равномерно и линейно распределенные нагрузки.

Равномерно распределенная нагрузка (рис.1.35).

Рис.1.35

Здесь интенсивность постоянна: q = const. Распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой , равной произведению интенсивности на длину отрезка и приложенной к середине нагруженного участка:

(1.37)

Силы, распределенные по линейному закону (рис.1.36).

Рис.1.36

Для такой системы сил интенсивность q меняется от нуля до максимального значения q_max по линейному закону.

Эквивалентная сосредоточенная сила этой системы приложена в точке, делящей нагруженный участок в соотношении 2 : 1 (рис.1.36) и равна:

(1.38)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Определите величину и точку приложения равномерно распределенной нагрузки.

2. Определите величину и точку приложения линейно распределенной нагрузки.

3. Какую размерность имеет погонный вес?

1.3.4 Алгоритм решения задач статики Рассмотрим пример решения задачи о равновесии тела под действием плоской системы сил.

Пример.

Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н·м; расстояние a = 1 м.(рис.1.37).

Рис.1.37

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив ось Ox вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: , пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку эквивалентной сосредоточенной , равной по модулю Q = q·2a = 30 Н и приложенной в средней точке нагруженного участка.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция _A неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим её на две неизвестные по величине составляющие X_A, Y_A, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует её перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию _B следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Приведенные выше действия можно назвать составление эквивалентной силовой схемы (рис.1.38).

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: X_A, Y_A, R_B. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой⁷.

Рис.1.38

Составим уравнения равновесия для полученной эквивалентной силовой схемы.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

,

,

.

Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции _B относительно точки А выделена её вертикальная составляющая, равная R_B cos 30° и имеющая плечо 3a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из третьего уравнения (2) и (3) находим:

R_B = (Q - 2F - M/a)/(3cos 30°) -50.0 Н.

Подставив в первое и второе, получим:

Х_A=((Q - 2F - M/a)/(3cos 30°))sin30° -25.0 Н,

Y_A = (2Q - F + M/a)/3 13.3 Н.

Полученные отрицательные значения R_B и X_A означают, что сила _B и составляющая реакции X_A противоположны показанным на рис.1.38 направлениям этих векторов.

Величина реакции R_A = (X_A² + Y_A²) 28.3 Н.

На примере решения рассмотренной задачи сформулируем общие правила решения задач в виде алгоритма решения задач статики:

Статья I.Составить силовую схему, выполнив следующее:

- выбрать объект рассмотрения (рассматриваемую механическую систему), отбросив при этом все остальные тела Вселенной;

- заменить влияние отброшенных тел силами, приложенными к точкам рассматриваемой механической системы;

- заменить отброшенные связи их реакциями;

- заменить распределенные нагрузки эквивалентными сосредоточенными силами;

- заменить пары сил их моментами.

Статья II.Написать систему уравнений равновесия для составленной силовой схемы.

Статья III.Решая полученную систему уравнений, найти неизвестные силы или/и реакции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте алгоритм решения задач статики.

1.3.5 Равновесие сочлененной системы тел

Различают внутренние и внешние связи. Внутренними называют связи, соединяющие части составной конструкции или тела системы. Внешними являются связи, соединяющие систему тел с землей. Соответственно и реакции связей делят на внешние и внутренние.

Рассматривая составные конструкции, то есть системы тел, удобно применять метод расчленения системы на составляющие её тела, что позволяет внутренние реакции перевести в разряд внешних. При этом одноименные реакции внутренних связей следует направлять в противоположные стороны согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия.

Пример

Определить реакции внешних связей рамы, изображенной на рис.1.39,а. Конструкция состоит из двух частей АС и ВС, сопряженных цилиндрическим шарниром С, и опирается шарнирами А и В. Неизвестных компонент внешних опорных реакций – четыре ( ), а уравнений равновесия (1.32) – только три. Мысленно расчленим раму в шарнире С на звенья (рис.1.39,б), введя внутренние реакции : .

Рис.1.39

Всего стало 6 неизвестных компонент реакций ( , ), при этом для каждого из двух звеньев АС и ВС (рис.1.39,б) можно составить по три уравнения равновесия (всего – 6). Таким образом, решая полученную систему из шести уравнений, можно найти все неизвестные. Если в задаче требуется определить только внешние реакции ( ), можно не составлять все шесть уравнений равновесия, а использовать только четыре.

Из условия равновесия рамы в целом (рис.1.39,а) получим:

.

Из условия равновесия части АС рамы (рис.1.39,б) имеем:

.

Решая совместно эти уравнения, находим:

.

Возвращаясь вновь к рассмотрению рамы в целом, определим:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте метод расчленения системы на составляющие.

2. Почему расчленение необходимо проводить по внутреннему шарниру?

3. Всегда ли используется все уравнения равновесия?