Теорема о приведении плоской системы сил к главному вектору и главному алгебраическому моменту

Используя теорему о параллельном переносе силы, можно привести любую плоскую систему сил к главному вектору и паре сил с моментом, равным главному алгебраическому моменту. Так изображенные на рис.1.32 слева силы , ,..., переносятся параллельно в произвольную точку О. При этом добавляются алгебраические моменты этих сил относительно точки переноса M₀( ),M₀( )…M₀( ) (средний рисунок). На рисунке справа показаны результаты векторного сложения сил в т. О и алгебраического сложения моментов в виде главного вектора_, и главного алгебраического момента.

Полученный результат можно сформулировать так: плоскую систему сил можно заменить силой, приложенной к произвольно выбранной точке (т. О) и равной главному вектору ₀ этой системы сил и парой сил с моментом, равным главному алгебраическому моменту M₀ системы сил относительно точки О.

Условия равновесия плоской системы сил

• Произвольная плоская система сил

Как только что показано, плоская система сил приводится к двум силовым факторам: силе – главному вектору ₀, и паре сил с моментом, равным главному алгебраическому моменту M₀. Первый оказывает переместительное действие на тело, второй – вращательное. Естественно, что в покое тело будет находиться только тогда, когда и главный вектор и главный момент будут равны нулю:

0 = 0; M0 = 0 .

(1.31)

Соответственно, проекции главного вектора на оси также должны быть равны нулю. Используя формулы для определения проекций главного вектора и главного алгебраического момента сил, запишем окончательную, т.н. „главную” формулировку условий равновесия плоской системы сил:

(1.32)

В условиях равновесия суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей плоской системы и сумма их алгебраических моментов относительно любой точки равны нулю.

Рассмотрим частные случаи плоских систем сил.

• Плоская система параллельных сил

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно для удобства направить ось Ox перпендикулярно силам. Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из уравнений равновесия плоской системы сил обратится в тождество. В результате для плоской системы параллельных сил остаются два уравнения равновесия:

(1.33)

• Плоская система сходящихся сил

В этом случае линии действия всех сил пересекаются в одной точке и их моменты относительно этой точки равны нулю, в силу чего моментное уравнение условий равновесия также обращается в тождество.

В результате получаем следующие уравнения равновесия:

(1.34)

В условиях равновесия для плоской системы сходящихся сил суммы проекций этих сил на координатные оси Ox и Oy равны нулю.

Теорема Вариньона об алгебраическом моменте равнодействующей силы.

Алгебраический момент равнодействующей плоской системы сил равен сумме алгебраических моментов сил системы.

(1.35)

Докажем это утверждение.

В соответствии с аксиомой статики 2, при добавлении к системе сил , ,..., с равнодействующей уравновешивающей силы тело будет находиться в равновесии. Уравнение моментов в условиях равновесия примет вид:

.

Учитывая, что = - , и обе силы имеют общую линию действия, то:

.

Вычитая второе уравнение из первого, найдем:

что и требовалось доказать.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте условия равновесия для плоской системы сил.

2. Чем отличаются условия равновесия для плоской системы параллельных сил от условий равновесия для плоской системы сходящихся сил?

3. Как найти момент равнодействующей в данной системе сил?