Прямокутні проекції основних геометричних тіл Тема: Визначеність зображень. Прямокутні проекції. Комплексне креслення Монжа. Точка, пряма, площина загального і часткового положення на епюрі Монжа

Лекція – 1б 1 год.

Відомо, що проекційні зображення, які використовуються в технічній документації, повинні відповідати таким основним вимогам:

• бути оберненими (метрично визначеними), тобто такими, щоб за ними можна було визначити форму і розміри зображеного предмета;

• бути наочними, тобто такими, щоб за ними можна було уявити зображений предмет і його положення в просторі;

• бути відносно простими у графічному виконанні.

Розглянуті методи проектування на одну площину проекцій дають можливість розв'язувати пряму задачу – маючи предмет, знайти його проекцію, але не дозволяє розв'язати обернену задачу – маючи проекцію, визначити форму і розміри предмета. Наприклад, маючи проекцію A_i (рис. 1), не можна визначити положення самої точки A в просторі, оскільки невідома її відстань від площини проекцій Π_i.

Наявність лише однієї проекції створює невизначеність зображення. Такі зображення повинні містити додаткові дані, щоб за ними можна було визначити оригінал.

Розглянемо деякі способи доповнення зображень геометричних образів при паралельному проектуванні.

На практиці найбільш широке застосування набули чотири способи доповнення однопроекційного зображення: проекції з числовими відмітками; векторіальні (федоровські) проекції; аксонометричні проекції; прямокутні проекції.

Проекції з числовими відмітками. Цей метод зображень ґрунтується на тому, що для кожної точки предмета на площині проекцій додатково вказують величину її відстані (при визначених одиницях виміру) від заданої площини проекцій. Цю відстань називають числовою відміткою точки. Креслення з числовими відмітками використовують в основному в картографії, при проектуванні доріг і т. п.

Векторіальні (федоровські) проекції названі на честь академіка Є.С.Федорова, який запропонував зображати висоти точок предмета за допомогою паралельних відрізків. Початок відрізка –­­­ в проекції відповідної точки. Довжина відрізка дорівнює висоті точки. Цей метод зображення застосовується у кристалографії, геології і т. п.

Аксонометричні проекції більш детальніше розглядаються в окремій лекції. Тут можна лише відзначити, що зображенням, отриманим за допомогою методу аксонометричних проекцій, притаманна більша наочність, але вони і більш трудомісткі при виконанні.

Прямокутні проекції найбільше застосовуються при виконанні технічних креслень, тому що в цьому випадку забезпечується простота графічних побудов і висока точність вимірів. Основний недолік цього методу – недостатня наочність зображення: для того, щоб “побачити” (уявити) предмет, необхідно подумки поєднати його наявні “плоскі” зображення.

М етод прямокутних проекцій ґрунтується на тому, що предмет за допомогою ортогонального (прямокутного) проектування одночасно зображають на декількох взаємноперпендикулярних площинах проекцій, приєднаних до просторової прямокутної системи координат.

Розглянемо дві взаємно-перпендикулярні площини, які ділять простір на 4 частини, що називаються четвертями або квадрантами (рис.4). Така модель називається двох-площинною. Відповідно площина П₁ називається горизонтальною площиною проекцій, а П₂ - фронтальною площиною проекцій.

При двох напрямах проектування, що прийняті в системі прямокутних проекцій, довільна точка А зображується парою точок ( А₁- горизонтальна проекція, А₂ – фронтальна проекція ). Неважко помітити, що точка простору віддалена від площин проекцій П₁ та П₂ на відстань від осі відповідно до її фронтальної та горизонтальної проекцій. Креслення, що містить проекції на двох полях проекцій, позиційно повне та метрично визначене.

Однак, завдяки тривимірності просторової фігури, а також у зв’язку з тим, що по двох зображеннях не завжди просто визначити конструкцію складного об’єкта, його комплексне креслення стає зрозумілішим, коли крім двох основних проекцій дано ще проекцію на третю площину. В ролі третьої площини (поля проекцій) найчастіше вибирають профільну площину проекцій П₃ , перпендикулярну до П₁ та П₂ (рис.5), тому третя проекція точки А₃ називається профільною. Така модель називається трьох площинною.

При побудові комплексного креслення або епюра Монжа з трьох прямокутних проекцій площину П₂ приймають нерухомою, а площини П₁ та П₃ суміщують з нею обертанням навколо осей x та z.

Площини /поля/ проекцій П₁, П₂ та П₃, перетинаючись по трьох лініях, задають просторову декартову систему координат (рис.5). Точка О є початком координат, вісь х - віссю абсцис, вісь у - віссю ординат та вісь z - віссю аплікат. Неважко помітити, що проекції А₁ та А₂ лежать на одній вертикальній лінії, а проекції А₂ та А₃ – на одній горизонтальній лінії, які називаються лініями зв’язку.

Р озглянемо, якою лінією зв’язку можна з’єднати проекції А₁ та А₃.

Для цього розглянемо квадрат О, А₃₁, А_О, А₁₃ (рис.6 ). Діагональ цього квадрата - бісектриса кута у(-z), О, у(-x). Лінія зв’язку, яка з’єднує про-екції А₁ та А₃ - ламана, що склада­ється з двох відрізків горизонтального та вертикального) з вершиною на бісектрисі к кута у(-z), О, у(-x). Частину цієї ламаної інколи замінюють дугою кола. Таким чином, між горизонтальною та профільною проекціями існує ламана горизонтально-вер­тикальна лінія зв’язку. Бісектрису к, що є множиною вершин цих ламаних ліній, називають постійною прямою комплексного креслення.

Площини проекцій П₁, П₂ та П₃ ді­лять тривимірний простір на вісім частин, які називаються октантами. У тих випадках, коли точка задається координатами, можна будувати комплексне креслення, керуючись величиною та знаками координат, навіть не визначаючи октанту, в якому задана точка.

Знаки координат, які відповідають тому чи іншому октанту, наведені в таблиці 2. Таблиця 2

Октанти	1	2	3	4	5	6	7	8
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Якщо точка знаходиться в першій чверті (двох площинна модель) або в першому (п’ятому) октанті (трьох площинна модель) простору при закріплених площинах проекцій, то її горизонтальна проекція розміщується нижче, а фронтальна проекція – вище х. По-іншому розміщуються проекції точок, що перебувають в 2(6),3(7)та 4(8) чвертях (октантах) простору. На рис.7 показано розташування точок у різних чвертях простору.

Якщо одна з проекцій точки розміщена на осі, то точка простору належить одній із площин проекцій і розташована на границі чвертей.

Я кщо відстані від проекцій точок до осі рівні, то точка простору належить бісекторній площині. Бісекторна площина – це площина , яка ділить четверті навпіл. Площина, яка проходить через 1 і 3 четверті називається 1^ою бісекторною площиною і позначається буквою К, площина, яка проходить через 2 і 4 чверті – 2^ою бісекторною площиною і позначається буквою U.

Приклад 1.

П обудувати комплексне креслення точок А(-30,-20,40) та В(10,30,-10) і визначити октанти простору, в яких вони розташовані.

Користуючись таблицею 2, легко визначити, що точка А задана в 6 октанті, а точка В – в 4. Комплексне креслення точок приведене на рис. 8.

У практичних додатках користуються, як правило, 1 чвертю, тому подальший матеріал буде подаватися стосовно неї.

Питання для самоконтролю.

1. Чим різняться між собою двоплощинна та триплощинна моделі простору?

2. Якщо точка простору належить площині П₂, як будуть розташовані її проекції?

3. Як зобразяться проекції точки, що належить бісекторній площині в 3 і 4 чвертях простору?